¿Cómo se llegó a esta desigualdad integral?

Question

He visto este resultado $$ \int\limits_0^\pi e^{-R\sin\theta}d\theta \le \frac{\pi}{R}\left(1-e^{-R}\right) $$

con $R>0$ donde la fuente dice haber derivado esta desigualdad utilizando la desigualdad de Jordan, que es que para $\theta\in [0,\pi/2]$ , $\frac{2}{\pi}\theta\le\sin\theta\le \theta$ .

Estos son mis comentarios sobre esta desigualdad:

1. No hace mucho tiempo, derivé esta desigualdad, pero ahora no recuerdo cómo (probablemente cometí un error en alguna parte en ese momento, por eso las cosas no parecen cuadrar ahora).

2. ¿Cómo utilizarías la desigualdad de Jordan para derivar la desigualdad anterior?

Answer 1

Desde \begin{align} -\frac{2R}{\pi} x\geq -R\sin x \geq -Rx \end{align} para $x\in [0, \pi/2]$ entonces vemos que \begin{align} \int^{\pi/2}_0 e^{-R\sin x}\ dx \leq \int^{\pi/2}_0 e^{-\frac{2R}{\pi} x}\ dx = \frac{\pi}{2R}\left(1-e^{-R} \right). \end{align} Haga el mismo tipo de estimación para $x \in [\pi/2, \pi]$ .

Answer 2

La desigualdad de Jordan se puede obtener observando los valores de las diferenciales correspondientes y los valores iniciales de las funciones.

Para la segunda parte, observa que la integral es igual en [0,90] y [90,180]. Divide el intervalo y utiliza la parte izquierda de la desigualdad de Jordan.