Función generadora de momentos de una distribución

Question

Quiero encontrar la función generadora de momentos (mfg) y la desviación media de esta distribución:

$$f(x,\epsilon,k,\theta) = k\theta^{(1+1/k+\epsilon/k)}x^{(k+\epsilon)}\exp{(-\theta x^k )}/(\Gamma(1+(1+\epsilon))/k)$$

donde $\epsilon, k, \theta$ son los tres parámetros de esta distribución. $x$ oscila entre $0$ hasta el infinito.

Answer 1

Este es un Distribución gamma generalizada : hasta un factor de escala, $x^k$ tiene una distribución Gamma.

E. W. Stacy estudió la distribución Gamma Generalizada en un documento de 1962 disponible en Proyecto Euclides . Su parametrización es más natural para las aplicaciones estadísticas y conduce a fórmulas más simples. La función de densidad está determinada por la densidad para un factor de escala unitario $a=1$ por

$$f(x;1,d,p)\mathrm{d}x =\frac{1}{C(p,d)} x^d \exp(-x^p) \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

para $0 \lt x \lt \infty$ (véase la ecuación de Stacy (1)). La constante de proporcionalidad se encuentra fácilmente a través de la sustitución $x^p=u,$ que se puede encontrar en

$$C(p,d) = \int_0^\infty x^d \exp(-x^p)\frac{\mathrm{d}x}{x} = \frac{\Gamma(d/p)}{p}.$$

Para encontrar el $r^\text{th}$ momento, integrar $x^r$ contra $f\mathrm{d}x.$ No se necesitan cálculos adicionales, porque la fórmula anterior ya da el resultado al sustituir $d$ por $r+d$ :

$$\mu_r(p,d) = \frac{1}{C(p,d)} \int_0^\infty x^{r+d} \exp(-x^p) \frac{\mathrm{d}x}{x} = \frac{C(p, r+d)}{C(p, d)} = \frac{\Gamma((r+d)/p)}{\Gamma(d/p)}.$$

Por definición, estos dan los términos en la expansión de la función generadora de momentos (mgf),

$$M_{p,d}(t) = \sum_{r=0}^\infty \frac{\mu_r(p,d)}{r!} t^r = \frac{1}{\Gamma(d/p)} \sum_{r=0}^\infty \frac{\Gamma((r+d)/p)}{r!} t^r.$$

(Véase la ecuación de Stacy (3).) Como es habitual, el factor de escala $a \gt 0$ se acomoda sustituyendo $t$ por $a t$ en el mgf.

La parametrización dada en la pregunta identifica $k$ con $p,$ $1+k+\epsilon$ con $d$ y $1/\theta^{1/k}$ con $a.$

Supongo que la "desviación media" se refiere a alguna función de estos momentos, pero como no estoy seguro de cuál, dejaré el álgebra al lector.