Función proyectiva: Matemáticas discretas

Question

¿Cómo saber si esta función es sobreyectiva o no? Sé que tenemos que representar x en términos de y y luego sustituir algún valor de y para el cual el dominio de x no se satisface, pero para esta suma, ¿cómo representar x en términos de y?

Answer 1

La función es sobreyectiva si la ecuación $x^2+2x-y=0$ tiene soluciones reales sin importar el valor real que tome y.

Toma $y=-2$ y la ecuación no tiene raíces reales. Por lo tanto, la función $y=x^2+2x$ no es sobreyectiva.

Answer 2

Obsérvese la definición de subjetividad:

Para una función $f:A\to B$ para que sea suryente, necesitamos que para cada $y \in B$ existe un $x\in A$ tal que $f(x) = y$ .

Si $f$ es una función tal que $$f:\mathbb R \to \mathbb R$$ $$f(x) = x^2 + 2x,$$ entonces, tenga en cuenta que si $f$ fueran suryentes, deberíamos ser capaces de tomar cualquier número (digamos) $-5\in \mathbb R$ (que es nuestro $B$ aquí) tal que un $x\in \mathbb R$ (que también es nuestro $A$ ) hace $f(x) = -5$ . Pero puede $f$ nunca alcanzan $-5$ ?

Answer 3

Según tengo entendido, el propósito de este ejercicio es utilizar funciones conocidas para ayudar a los estudiantes a desarrollar una mejor comprensión del concepto de subjetividad. Una idea es que para las funciones $y=f(x)$ de $\color{blue}{\mathbb{R}}$ a $\color{magenta}{\mathbb{R}}$ se puede utilizar la gráfica habitual de la función para ver si la función es sobreyectiva o no.

Trazar la gráfica de $y=f(x)$ como por ejemplo $y=x^2+2x$ en este ejemplo (apuesto a que conoce su forma), y vea cuál es su alcance. Dicha función es suryectiva precisamente cuando para cada $y\in\color{magenta}{\mathbb{R}}$ hay al menos un punto $x\in\color{blue}{\mathbb{R}}$ tal que $f(x)=y$ . Eso es un bocado, pero es lo mismo que decir que el gama de la función es todo el $\color{magenta}{\mathbb{R}}=(-\infty,+\infty)$ . Para las funciones en el cartesiano $x,y$ -Avión, es el Prueba de la línea horizontal .