Objetos regulares rígidos de álgebras de trayectoria de quivers domesticados

Question

En el documento Sobre las secuencias verdes máximas de Brustle, Dupont y Perotin los autores argumentaron que en un álgebra de caminos $\Lambda=kQ$ de un carcaj manso $Q$ con $n$ vértices cada módulo de inclinación contiene como máximo $n-2$ componentes regulares. Lo mismo ocurre con los objetos de sedimentación entre $\Lambda$ y $\Lambda[1]$ . Creo que esto se debe a que para cada tubo homogéneo no puede haber objetos rígidos indecomponibles mientras que para cada tubo no homogéneo $\mathbb{Z}\mathbb{A}_{\infty}/(\tau^k)$ no puede haber objetos rígidos con $k$ o más sumandos sin repetir sumandos.

¿Se conoce alguna prueba de la última afirmación que he proporcionado?

Answer 1

Esta pregunta ha sido respondida en mi propio documento Los Quivers mansos tienen un número finito de $m$ -Secuencias Verdes Máximas . De hecho, esta afirmación puede reforzarse con la siguiente:

Cualquier objeto de pre-silting en cualquier tubo estable estándar de rango $k$ y sus turnos pueden contener como máximo $k-1$ sumandos indecomponibles.

Aquí voy a demostrar la de arriba mientras que la prueba de la forma general está en mi documento.

Supongamos que existe un objeto de presilting en el tubo estable estándar $\mathcal{T}$ de rango $k$ tiene un sumando con serie de composición que incluye todos los cuasi-simples $M_1,M_2=\tau^{-1}M_1,\cdots,M_k=\tau M_1 $ . Podemos suponer que contiene un incomponible con cuasi-socle $M_1$ . Ahora tenemos que incluir algunos indecomponibles con cuasi-top $M_k$ que hará que el objeto de pre-silting tenga una auto-extensión imposible o alguna indecomponible con $M_k$ en la serie de composición, pero no como el cuasi-top, que también hará que el objeto de pre-silting tenga una auto-extensión. Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción.