¿Cómo demostrar que el producto cruzado de dos vectores es una transformación lineal?

Question

Estoy atascado, ¿podría darme una pista?

Answer 1

( asumiendo tácitamente que estamos trabajando con el tradicional producto cruzado de dos vectores en $\mathbb{R}^3$ )

Suponiendo que uno de los vectores se mantiene constante. Sea $v$ sea el vector fijo. Queremos demostrar que $L(x) = v\times x$ es una transformación lineal de $x$ de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^3$ .

Dejemos que $v = \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}$. Let $x = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$ .

El producto cruzado $v\times x = \det\left(\begin{bmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ v_1&v_2&v_3\\x_1&x_2&x_3\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}v_2x_3-v_3x_2\\-v_1x_3+v_3x_1\\v_1x_2-v_2x_1\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}0\\v_3\\-v_2\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}-v_3\\0\\v_1\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}\star\\\star\\\star\end{bmatrix}$

Permitirle rellenar el $\star$ 's por encima de ti mismo.

¿Cómo podemos construir entonces una matriz tal que $Ax = v\times x$ ?

Si conseguimos construir dicha matriz, eso demuestra que la transformación es efectivamente una transformación lineal.

Answer 2

Para una función $L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ para ser una transformación lineal, hay que verificar dos propiedades:

1. $L(a \overrightarrow{v})=aL(\overrightarrow{v})$ para cualquier escalar $a$ y cualquier vector $\overrightarrow{v}$
2. $L(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=L(\overrightarrow{v})+L(\overrightarrow{w})$ para dos vectores cualesquiera $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$

En este caso, fijar algún vector $\overrightarrow{u}$ y considerar la transformación lineal definida por $L(\overrightarrow{v})= \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$ . Para demostrar que el producto cruzado es lineal, hay que demostrar que las propiedades (1) y (2) anteriores se cumplen; en otras palabras, hay que verificar que:

1. $\overrightarrow{u} \times (a\overrightarrow{v})=a ( \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v})$
2. $\overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})+(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{w})$

¿Puedes seguir a partir de ahí?

Answer 3

Para demostrar que $\vec{a}\times(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{c}$ tenemos que hacer estos vectores en componente caertesiana utilizando una base natural ortonormal $\{\hat{x}_j ~|~ j = 1, 2, 3\}$ . Utilizaré la Convención de la Suma de Einstein, es decir $\vec{a} = a_j\hat{x}_j$ , $\vec{b} = b_j\hat{x}_j$ y $\vec{c} = c_j\hat{x}_j$ , sin símbolo de suma $\sum$ . Ahora, obtenemos

\begin{align} & \vec{a}\times(\vec{b} + \vec{c}) \\[6pt] = {} & a_j\hat{x}_j\times\hat{x}_k(b_k + c_k) \\[6pt] = {} & a_j(b_k + c_k)\hat{x}_j\times\hat{x}_k \\[6pt] = {} & (a_jb_k + a_jc_k)\hat{x}_j\times\hat{x}_k \\[6pt] = {} & a_jb_k\hat{x}_j\times\hat{x}_k + a_jc_k\hat{x}_j\times\hat{x}_k \\[6pt] = {} & (a_j\hat{x}_j)\times(b_k\hat{x}_k) + (a_j\hat{x}_j)\times(c_k\hat{x}_k) \\[6pt] = {} & \vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{c}. \end{align}

Answer 4

Producto cruzado entre el vector $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ se define por \begin{equation} \vec{A}\times\vec{B} := |\vec{A}||\vec{B}|\sin\angle(\vec{A},\vec{B})\frac{\vec{A}\times\vec{B}}{|\vec{A}\times\vec{B}|}. \end{equation} Porque para $\vec{A} := (A_x,A_y,A_z) \in \mathbb{R}^3$ y $\vec{B} := (B_x,B_y,B_z) \in \mathbb{R}^3$ , se obtiene \begin{eqnarray} \sin\angle(\vec{A},\vec{B}) &=& \sqrt{1 - \cos^2\angle(\vec{A},\vec{B})} = \sqrt{1 - \left(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}\right)^2} = \frac{\sqrt{|\vec{A}|^2|\vec{B}|^2 - (\vec{A}\cdot\vec{B})^2}}{|\vec{A}||\vec{B}|} \nonumber\\ &=& \frac{\sqrt{(A_x^2 + A_y^2 + A_z^2)(B_x^2 + B_y^2 + B_z^2) - (A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z)^2}}{|\vec{A}||\vec{B}|} \nonumber\\ &=& \frac{\sqrt{(A_yB_z - A_zB_y)^2 + (A_zB_x - A_xB_z)^2 + (A_xB_y - A_yB_x)^2}}{|\vec{A}||\vec{B}|}, \end{eqnarray} así que \begin{equation} \vec{A}\times\vec{B} = \sqrt{(A_yB_z - A_zB_y)^2 + (A_zB_x - A_xB_z)^2 + (A_xB_y - A_yB_x)^2}\frac{\vec{A}\times\vec{B}}{|\vec{A}\times\vec{B}|}, \end{equation} para que \begin{equation} |\vec{A}\times\vec{B}| = \sqrt{(A_yB_z - A_zB_y)^2 + (A_zB_x - A_xB_z)^2 + (A_xB_y - A_yB_x)^2}. \label{201810211741} \end{equation} Hay muchas posibilidades de forma explícita de $\vec{A}\times\vec{B}$ que satisfacen la ecuación ( \ref {201810211741}). Porque $\hat{x}\times\hat{y} = \hat{z}$ , $\hat{z}\times\hat{x} = \hat{y}$ y $\hat{y}\times\hat{z} = \hat{x}$ debe ser satisfecha, por lo que debe ser \begin{equation} \vec{A}\times\vec{B} = (A_yB_z - A_zB_y)\hat{x} + (A_zB_x - A_xB_z)\hat{y} + (A_xB_y - A_yB_x)\hat{z}. \end{equation}