Integrales de línea y de superficie

Question

Estoy atascado en la siguiente pregunta :(

$F(x,y,z)=(y+z)i+(x+z)j+(x+z)k$ . La esfera $x^2+y^2+z^2=a^2$ interseca los ejes x, y y za positivos en los puntos A, B y C, respectivamente. La curva simple cerrada K está formada por los tres arcos circulares AB, BC y CA. S denota la superficie ABC del octante de la esfera delimitada por K, orientada fuera del origen. Sea T el vector unitario tangente a K, y n el vector unitario normal a S.

Evalúa la integral de línea y luego la integral de superficie. No hay que utilizar el teorema de Stoke.

Gracias.

Para la integral de línea debo utilizar la ecuación $\int F\cdot T ds$ . Como la pregunta pide la integral de línea a lo largo de los límites del primer octante usaré $C1$ para representar la línea de A a B, $C2$ para B a C y $C3$ para C a A.

Así que queremos evaluar la integral de línea sobre las líneas $C1 = a-x^2$ , $C2 = a-y^2$ y $C3 = a-z^2$ . ¿Correcto?

Luego pienso parametrizar cada una de las líneas y resolver la integral de la ecuación parametrizada para $F$ . Sin embargo, no estoy del todo seguro de cómo parametrizar las líneas... ¿Convierto $C1$ , $C2$ y $C3$ a coordenadas esféricas primero? ¿Qué hago con el $a$ en cada uno cuando parametrizo?

Gracias de nuevo por su ayuda.

Answer 1

¿Estás seguro de que F es exactamente lo mismo que has escrito? Por simetría completa podría ser $F(x,y,z)=(y+z)i+(x+z)j+(x+y)k$ . Sin embargo, eso no está afectando al camino de la solución.

---

Para la integral lineal $\oint \mathbf{F}\cdot \boldsymbol{\tau } ds = \oint \mathbf{F}\cdot \mathbf{ds} = \int_{xy}+\int_{yz}+ \int_{xz}$ los cálculos son los mismos en los tres planos. Por ejemplo, en $xy$ -Avión: $ z = 0, y = \sqrt{a^2-x^2} $ $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ \mathbf{ds} =\begin{pmatrix} 1\\ -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ 0 \end{pmatrix}dx\\ \int_{xy} \mathbf{F}(x, y(x), 0)\cdot \mathbf{ds} = \int_0^a(\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}})dx = x \sqrt{a^2 - x^2}\Bigr{|}_0^a = 0\\ $$ $\int_{yz}=(\pi-2) \frac{a^2}{4}$ y $\int_{xz}=\pi \frac{a^2}{4}$ juntos dan $\oint \mathbf{F} \cdot \mathbf{ds} = a^2 \frac{\pi-1}{2}$

---

Para la integral de superficie $\iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{dS}$ vamos a las coordenadas esféricas para la diversidad.

$$ \left\{\begin{matrix} x = \rho cos\varphi cos\theta \\ y = \rho sin\varphi cos\theta \\ z = \rho sin\theta \end{matrix}\right.\\ Jacobian\ of\ transition\ \Delta = \rho^2cos\theta\\ \mathbf{dS} =\begin{pmatrix} cos\varphi cos\theta\\ sin\varphi cos\theta\\ sin\theta \end{pmatrix}d\varphi d\theta\\ your\ \mathbf{F} = \rho\begin{pmatrix} sin\varphi cos\theta+sin\theta\\ cos\varphi cos\theta+sin\theta\\ cos\varphi cos\theta+sin\theta \end{pmatrix}d\varphi d\theta\\ \iint_S \Delta \cdot \mathbf{F} \cdot \mathbf{dS} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\rho^3d\theta\int_0^{\frac{\pi}{2}}(2\cdot sin\varphi cos\varphi cos^2\theta + 2 \cdot cos\varphi sin\theta cos\theta + sin\varphi sin\theta cos\theta + sin^2\theta)d\varphi=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\rho^3(\frac {\pi}{2} sin^2\theta+cos^2\theta+3 sin\theta cos\theta) d\theta = \frac{a^3}{8} (12+2 \pi+\pi^2) $$