¿Cómo simular computacionalmente una pelota que rueda por una pista curva?

Question

¿Cómo puedo simular computacionalmente con precisión una bola de bolos rodando por una pista de bobsleigh? (Ignorando inicialmente la fricción del aire y la del hielo/hormigón).

Estoy familiarizado con la mecánica newtoniana básica, y he escrito código para simular interacciones básicas de cuerpos rígidos antes, sin embargo me cuesta entender cómo aplicar estas leyes para simular con precisión la fuerza centrípeta/"centrífuga", y sin un cálculo preciso de esta fuerza, sería imposible encontrar la altura a la que se elevaría la bola al rodar por una curva.

También me pregunto si es necesario medir con precisión el radio de curvatura para calcular con exactitud la fuerza centrípeta. En una pista de bobsleigh, hay un eje mayor y un eje menor de curvatura, y ambas curvaturas cambian constantemente.

¿O es posible no conocer la curvatura exacta, sino simplemente mover la bola de bolos hacia adelante un paso de tiempo, y calcular hasta dónde "dentro de la pista" se habría movido la bola en su trayectoria actual al pasar por una esquina, y luego corregir el movimiento moviéndola de nuevo hacia la superficie de la pista, y utilizando la distancia de corrección requerida como una estimación de la curvatura de la pista y la fuerza centrípeta que tuvo que aplicarse para mantener la bola en la superficie de la pista?

Answer 1

Esta será una respuesta algo incompleta porque hay muchas incógnitas que tienes que decidir por ti mismo, e independientemente de eso hay muchas maneras de responder a esta pregunta. Algunos métodos serán más fáciles que otros, y su elección final depende en gran medida de una combinación de las propiedades que le interesa simular y de los métodos que le resulten cómodos.

Un método general sería utilizar la mecánica hamiltoniana, ya que es mucho más fácil (en mi opinión) capturar las fuerzas restrictivas en ese formalismo utilizando multiplicadores de Lagrange. Se podría:

1. Escribe la lagrangiana de la bola, junto con las ecuaciones de consistencia que definen la superficie sobre la que rueda la bola.

2. Pasa al formalismo hamiltoniano utilizando una transformada de Legendre, y escribe las ecuaciones de movimiento hamiltonianas para la bola.

3. Después del último paso, tendrás un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden que puedes resolver utilizando el método que prefieras, como un método Runge-Kutta de 4º orden.

Esto es un esbozo, pero no hay una única manera de responder a esta pregunta y, como he dicho, mucho dependerá de tus conocimientos actuales y de tu comodidad con las diferentes técnicas. También podría sugerir que se empiece por algo pequeño y se simule el mismo problema en una dimensión más baja; quizás se intente simular una pelota rodando en un medio tubo primero para tener una idea general.