Condición para que un operador de norma unitaria sea un operador cociente.

Question

Dejemos que $W,Z$ sean espacios de Banach. Un operador (lineal y acotado) $Q:W\rightarrow Z$ se dice que es un operador cociente si es suryente y $\Vert z\Vert=\inf\{\Vert w\Vert:Qw=z, w\in W\}$ (así $Z=W/\operatorname{ker}Q$ ).

Quiero demostrar que un operador $Q:W\rightarrow Z$ con $\Vert Q\Vert=1$ es un operador cociente si para cada $z\in Z$ y $\epsilon>0$ , hay $w\in W$ tal que $\Vert Qw-z\Vert<\epsilon$ y $\Vert w\Vert<(1+\epsilon)\Vert z\Vert$ . ¿Puede darme una idea?

Answer 1

Dejemos que $z\in Z$ con $\lVert z\rVert=1$ para simplificar. Elija cualquier $\varepsilon>0$ , y que $w_0\in W$ con $\lVert w_0\rVert<(1+\varepsilon)$ y $\lVert Qw_0-z_0\rVert<\varepsilon$ . Dejemos que $z_1=z_0-Qw_0$ Así que $\lVert z_1\rVert<\varepsilon$ .

Ahora, para $k=1$ , $2$ , suponga que $z_k$ se da, y se escoge $w_k\in W$ con $\lVert w_k\rVert<2\lVert z_k\rVert$ y $\lVert Qw_k-z_k\rVert<2^{-k}\varepsilon$ . Dejemos que $z_{k+1}=z_k-Qw_k$ .

Tenga en cuenta que $\lVert z_k\rVert<2^{1-k}\varepsilon$ y así $\lVert w_k\rVert<2^{2-k}\varepsilon$ para todos $k\ge1$ . Por lo tanto, encontramos

$$z=z_0=Qw_0+z_1=Qw_0+Qw_1+z_2=\ldots=Q\sum_{k=0}^\infty w_k $$ donde $$\Bigl\lVert\sum_{k=0}^\infty w_k\rVert\le \sum_{k=0}^\infty\lVert w_k\rVert < (1+\varepsilon)+\sum_{k=1}^\infty 2^{2-k}\varepsilon=1+5\varepsilon.$$ De ello se desprende que $Q$ es suryente, y $\lVert z\rVert\ge\inf\{\lVert w\rVert\in W\colon Qw=z\}$ para todos $z\in Z$ . La desigualdad opuesta se deduce de $\lVert Q\rVert=1$ .

Answer 2

Lo demostraré en el caso de que $W$ es reflexivo. Consideremos una secuencia positiva $\{\epsilon_n\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $\epsilon_n$ disminuye a $0$ . Entonces, dejemos que $w_n$ sea tal que $\|Qw_n-z\| < \epsilon_n$ y $\|w_n\| < (1+\epsilon_n)\|z\|$ . Si $W$ es reflexivo, entonces las secuencias acotadas en $W$ tienen subsecuencias débilmente convergentes, por lo que sin pérdida de generalidad dejamos que $w_n\rightharpoonup w$ para algunos $w\in W$ . Como $Q$ es débilmente continua tenemos que $Qw_n\rightharpoonup Qw$ . Entonces, como la norma es débilmente semicontinua inferior en espacios vectoriales normados tenemos que $$\|Qw-z\|\leq \liminf_{n\to \infty} \|Qw_n-z\| = 0$$ lo que implica $Qw = z$ . Por lo tanto, $Q$ es suryente, ya que podemos encontrar tal $w$ para cualquier $z\in Z$ . También, $$\|w\|\leq \liminf_{n\to \infty} \|w_n\|\leq \|z\|$$ Junto con el hecho obvio de que $Qw = z$ implica que $$\|z\| = \|Qw\|\leq \|w\|$$ tenemos que $\|w\| = \|z\|$ . Por lo tanto, es evidente que no podemos tener una $w'$ tal que $\|w'\| < \|w\|$ y $Qw' = z$ , como $$\|Qw'\|\leq \|Q\|\|w'\| = \|w'\| < \|w\| = \|z\|$$ por lo que tenemos que $\|z\| = \inf\{\|w\| : Qw = z, w\in W\}$ y $Q$ es un operador cociente.