¿Hay alguna función medible definida en un conjunto no medible?

Question

En mi libro de texto, la función medible de Lebesgue se define como

para cada finito $a$, el conjunto $\{x\in E:f(x)>a\}$ es un conjunto medible de $R^n$.

Y además dice

$E=\{x\in E:f(x)=-\infty\}\bigcup (\bigcup\limits_{a = 1}^\infty {\{ x \in E:f(x) > - a\} } )$

Luego, si $f$ es medible, entonces $\bigcup\limits_{a = 1}^\infty {\{ x \in E:f(x) > - a\} } $ es medible, y la medibilidad de $E$ es equivalente a la medibilidad de $\{x\in E:f(x)=-\infty\}$.

El libro luego dice que para simplificar asumimos que $\{x\in E:f(x)=-\infty\}$ es medible para futuras discusiones, es decir, se asume que la función medible de Lebesgue está definida en un conjunto medible.

Mis preguntas son,

1. ¿Cómo se ve el conjunto $\{x\in E:f(x)=-\infty\}$? Por ejemplo, si $f(x)=ln|x|$, ¿entonces este conjunto $\{x\in E:f(x)=-\infty\}=\{0\}$?
2. Dado que esto es solo una suposición, ¿$\{x\in E:f(x)=-\infty\}$ podría ser no medible en realidad?
3. ¿Hay un ejemplo concreto que muestre que $\{x\in E:f(x)=-\infty\}$ es no medible?

¡Gracias!

Answer 1

Algunas respuestas dependen de lo que requieras de $E$ y de $f$.

Si $f$ es mensurable y $E$ es un conjunto mensurable, entonces $\{x \in E: f(x) = -\infty\}$ es mensurable, porque puede ser escrito como la diferencia de dos conjuntos mensurables: $$ \{x \in E: f(x) = -\infty\} = E - \bigcup_{a \in \mathbb{R}} f^{-1}([a, \infty))$$

Si no requieres que $E$ o $f$ sean mensurables:

1. El conjunto $\{x \in E: f(x) = -\infty\}$ puede ser cualquier cosa. Simplemente toma cualquier $V \subset E$ y define una función $f$ en $E$ con $f(x) = \infty$ si $x \in V$.
2. Si el conjunto $V$ es, por ejemplo, un conjunto de Vitali, entonces sí, el conjunto $\{x \in E: f(x) = -\infty\}$ no es mensurable. En este caso $f$ no es una función mensurable.
3. Toma un conjunto de Vitali $V$ en $[0, 1]$ y define $f(x) = -\infty$ para $x \in V$ y $f(x) = 1$ para $x \in [0, 1]-V$