Convergencia de una integral con una singularidad

Question

¿Conviene la siguiente integral?

$$\int_c^1\frac{1}{bx\left(1-x+\frac{1}{b}\log(x)\right)}dx$$ donde $b>1$ y $c\in (0,1)$ ?

Me gustaría demostrar que al menos para algunos $c$ cerca de $1$ que la integral converge.

El denominador es igual a $0$ en dos puntos: $\bar c$ y $1$ .

Puedo evitar la singularidad en $\bar c$ tomando $c>\bar c$ pero ¿qué pasa con la singularidad en $1$ ?

¿Podría demostrar que esta integral converge?

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos: $0<1-x+\frac{1}{b}\log(x) \leq 1-x$ para $x<1$ y $x$ cerca de $1$ . Así que: \begin{align} \frac{1}{bx(1-x+\frac{1}{b}\log(x))} > \frac{1}{bx(1-x)} \end{align} ¿Qué sabes de la integral de la expresión en el lado derecho? Concluye.