Invarianza de traslación temporal del hamiltoniano

Question

Estoy aprendiendo sobre la invariancia de traslación temporal del Hamiltoniano. He leído que

la invariancia de traslación en el tiempo ya se manifiesta en el hecho de que nuestro Hamiltoniano se elige una función instantánea del tiempo -hemos asumido que la dinámica sólo depende de la posición y la velocidad en el momento actual, en lugar de la historia completa de la trayectoria de la partícula.

No entiendo muy bien esto. El Hamiltoniano para una partícula puntual unidimensional puede escribirse como $$H(x,t)=\frac{[p(x,t)]^2}{2m}+V(x,t)$$ donde $p(x,t)$ y $V(x,t)$ son el impulso y el potencial respectivamente. Si la traslación del tiempo es $t \rightarrow t+ t_0$ el hamiltoniano se convertirá en $$H(x,t+t_0)=\frac{[p(x,t+t_0)]^2}{2m}+V(x,t+t_0).$$ ¿Por qué se puede decir que $H(x,t)=H(x,t+t_0)$ ?

Answer 1

Este es el escenario. Usted tiene un sistema que se describe por algunas coordenadas generalizadas $q_i$ y algunos momentos generalizados $p_i$ (en el formalismo lagrangiano, se utilizaría $\dot{q_i}$ en su lugar). Las ecuaciones de Hamilton te dicen cómo estos $q_i$ y $p_i$ cambian con el tiempo.

$$\dot{q_i} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \dot{p_i} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

El hamiltoniano, $H = H(q_i, p_i, t)$ es una función del $q_i$ El $p_i$ y posiblemente el tiempo $t$ . La pregunta sobre la invariancia temporal del Hamiltoniano es simplemente preguntar si hay alguna dependencia explícita de $H$ en $t$ . Considere

$$H = H(p,q) = \frac{p^2}{2m} + V(q)$$

Esto no depende explícitamente del tiempo. Se puede imaginar fácilmente una situación en la que se varía el potencial con el tiempo de manera que $V(q)$ se convierte en $V(q, t)$ . Ahora, la dependencia del tiempo es explícita y el Hamiltoniano no es invariante traslacional en el tiempo.

Answer 2

Si una función (del tiempo) es invariante bajo la traslación del tiempo, entonces es constante. En otras palabras, el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo.

El párrafo (ciertamente un poco sibilino) que citas quiere subrayar el hecho de que, desde el principio, se supone que el hamiltoniano es tiempo local es decir, que sea una función del tiempo sólo en el momento $t$ . Se pueden tener ecuaciones (maestras) en las que el generador depende de toda la historia de los tiempos desde el principio hasta el presente. Por ejemplo algo de esta forma

$$ \frac{d\rho(t)}{dt} = \int_0^t dt' K(t,t') \rho(t') \, , $$

[ $\rho$ podría ser el vector $(q,p)$ ]. Sin embargo, suponemos que el hamiltoniano es simplemente de la forma $H(q,p,t)$ . En este caso, la invariabilidad temporal de la traslación significa simplemente que $H$ no depende explícitamente de $t$ es decir, efectivamente $H=H(q,p)$ .

Answer 3

El potencial V(x,t), si depende del tiempo hará que el Hamiltoniano en su conjunto dependa del tiempo. Pero la dependencia dentro del momento p no cuenta. Por ejemplo en un oscilador, $H=p^2+x^2$ y p y x son dependientes del tiempo pero porque el potencial $V=x^2$ no depende explícitamente del tiempo, por lo que la energía total se conserva. Hay un teorema que dice:

$ {dH \over dt} = {\partial H \over \partial t} $

lo que significa que el cambio total de energía es siempre igual al cambio de energía debido a la dependencia temporal explícita en el potencial.