Demostrar que $G: Z[t] → \mathbb{C}$ definido por $G(f)=f(\sqrt{-1})$ es un homomorfismo de anillo con núcleo $(t^2 + 1)$ y la imagen de los enteros gaussianos.

Question

Tengo claro lo del homomorfismo de anillo y la parte de la imagen. Pero no estoy seguro de cómo formular mi lenguaje precisamente sobre la declaración del núcleo.

Answer 1

En primer lugar, demuestre que $\langle t^2+1 \rangle\subseteq \ker(G)$ . Esto es tan fácil como $G(t^2+1)=0$ . Así que $t^2+1 \in \ker(G)$ por lo que el ideal generado por éste es un subconjunto de $\ker(G)$ .

Ahora tienes que demostrar que $\ker(G) \subseteq \langle t^2+1 \rangle $ . Dejemos que $f \in \ker(G)$ entonces $f(i)=0$ . Desde $f(t) \in \mathbb{Z}[t]$ Por lo tanto $f(-i)=0$ . Esto significa que $(x-i)(x+i)=x^2+1$ es un factor de $f$ . Así, $f \in \langle t^2+1 \rangle$ .

Answer 2

Para la declaración del núcleo sugiero

Siendo el núcleo el ideal principal generado por $t^2 + 1$