Si $\prod X_{\alpha}$ es normal entonces es $X_{\alpha}$ ¿también es normal? ¿Supongo que no lo es? Pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo. ¿Hay alguna prueba que demuestre la afirmación o un contraejemplo de lo contrario?
Respuesta
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DiGi
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Si $X=\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$ es normal, entonces cada factor $X_\alpha$ también debe ser normal. Arreglar $\alpha\in A$ y que $H$ y $K$ sean subconjuntos cerrados disjuntos de $X_\alpha$ . Entonces $\pi_\alpha^{-1}[H]$ y $\pi_\alpha^{-1}[K]$ son subconjuntos cerrados disjuntos de $X$ , donde $\pi_\alpha:X\to X_\alpha$ es el mapa de proyección habitual. $X$ es normal, por lo que hay conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ en $X$ tal que $\pi_\alpha^{-1}[H]\subseteq H$ y $\pi_\alpha^{-1}[K]\subseteq V$ . Dejemos que $x=\langle x_\beta:\beta\in A\rangle$ sea cualquier punto de $X$ y que $$Y=\big\{\langle y_\beta:\beta\in A\rangle\in X:y_\beta=x_\beta\text{ for all }\beta\in A\setminus\{\alpha\}\big\}\;.$$
Dejemos que $h=\pi_\alpha\upharpoonright Y$ La restricción de la $\alpha$ -a mapa de proyección a $Y$ Entonces $h$ es un homeomorfismo, y $h[U\cap Y]$ y $h[V\cap Y]$ son subconjuntos abiertos disjuntos de $X_\alpha$ tal que $H\subseteq h[U\cap Y]$ y $K\subseteq h[V\cap Y]$ .
