Este es un puramente recreativo pregunta: se me ocurrió que cuando la creación de un título de ejemplo de la hoja.
Vamos a ir con la Wikipedia la definición de un dominio Euclídeo. Así que ID $R$ es un dominio Euclídeo (ED) si hay algo de $\phi:R\backslash\{0\}\to\mathbf{Z}_{\geq0}$ o, posiblemente, $\mathbf{Z}_{>0}$ (nunca sé lo $\mathbf{N}$ significa, y la página de la Wikipedia (en el momento de la escritura) que utiliza $\mathbf{N}$ como destino de $\phi$, pero en este caso no importa, porque sólo puedo añadir una a $\phi$ si es necesario), para que los habituales de los axiomas espera.
Ahora en subrings de los racionales. El subrings de los racionales llegar a ser en bijection con los subconjuntos de los números primos. Si $X$ es un conjunto de números primos, a continuación, defina $\mathbf{Z}_X$ a los racionales $a/b$ $b$ solo divisible por los números primos en $X$. Diferentes conjuntos de $X$ dar diferentes subrings, y todos los subrings son de esta forma. Esto necesita un poco de prueba, pero un poco de reflexión, o un poco de google, los lleva allí.
Si $X$ está vacía, entonces $\mathbf{Z}_X=\mathbf{Z}$, que es una ED: el habitual $\phi$ tomado es $\phi(x)=|x|$.
Si $X$ es todos los números primos, a continuación, $\mathbf{Z}_X=\mathbf{Q}$ y este es un ED demasiado (al menos según Wikipedia -- creo que algunas fuentes de la demanda que la ED no es un campo, pero no vamos a ir allí); podemos simplemente dejar que $\phi$ ser constante.
Si $X$ es de todos, pero uno de prime, decir $p$, $\mathbf{Z}_X$ es la localización de $\mathbf{Z}$$(p)$, e $\phi$ puede ser llevado a ser el $p$-ádico de valoración (si estamos permitiendo $\phi$ toma el valor de cero, lo que bien podemos). Sin embargo, nótese que este es un lugar diferente "estilo" de $\phi$ para el caso de $X$ vacía: esta $\phi$ "no arquímedes" en origen, mientras que en el caso de $X$ vacío, se utilizó un "arquímedes" $\phi$. Este tipo de truco se generaliza para el caso de que $X$ es todo, sino un conjunto finito de números primos -- ver el "dominio de Dedekind con sólo un número finito de no-cero de los números primos" ejemplo en la página de la Wikipedia.
Por supuesto, la pregunta es: si $X$ es ahora una arbitraria conjunto de los números primos, es $\mathbf{Z}_X$ un ED?
