Pregunta sobre los mapas para $K(G,1)$

Question

Tengo una confusión desgraciadamente básica sobre dos resultados en Hatcher's Topología algebraica.

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano.

El teorema 4.57 se especializa en $n=1$ dice que hay una biyección $$\langle X, K(G,1)\rangle \rightarrow H^1(X;G),$$ donde el primer objeto es el conjunto de clases de homotopía de los mapas preservadores del punto base de $X$ a $K(G,1)$ .

La proposición 1B.9 dice que el conjunto de clases de homotopía de mapas preservadores del punto base de un espacio agradable $X$ a un $K(G,1)$ está en biyección con $\operatorname {Hom}(\pi_1(X), G)$ .

Parece que $\operatorname {Hom}(\pi_1(X), G)$ y $H^1(X;G)$ son diferentes en general, por lo que estoy malinterpretando (al menos) una de estas afirmaciones. ¿Cuál es mi error?

Edición: Tenemos $H^1(X;G)=\operatorname{Hom}(H_1(X),G)$ y si $G$ es abeliano, cualquier homomorfismo de $\pi_1(X)$ a $G$ tendrá que factorizar a través de su abelianización $H_1$ . Así que estos objetos son realmente los mismos, ¿verdad?

Answer 1

Su edición es correcta. Para los abelianos $G$ , $H^1(X;G) = \text{Hom}(H_1(X);G) = \text{Hom}(\pi_1(X);G)$ porque cualquier mapa a un grupo abeliano es un factor a través de la abelianización. Esta es frecuentemente una buena manera de pensar en $H^1$ .

(Por ejemplo, si te preocupas por las clases características: todo haz de vectores reales $E$ en $M$ determina una clase de cohomología $w_1(E) \in H^1(M;\Bbb Z/2) = \text{Hom}(\pi_1(M);\Bbb Z/2)$ determinado por $w_1(E)(\gamma) = 1$ si $E$ es orientable sobre $\gamma$ y $-1$ en caso contrario. Un elemento no trivial de $\text{Hom}(\pi_1(M);\Bbb Z/2)$ es igual a un subgrupo normal de índice 2 de $\pi_1(M)$ y, por tanto, es lo mismo que una doble cobertura de $M$ . A qué corresponde la doble tapa $w_1(E)$ ? Bueno, si $E$ es $d$ -dimensional, $\Lambda^d E$ es un haz vectorial unidimensional sobre $M$ y la proyección del haz de la esfera unitaria es la cubierta doble deseada. En el caso $E=TM$ ¡¡¡Esta es la tapa doble de orientación!!! OK, esto era sobre todo irrelevante para su pregunta, pero creo que es una historia linda).