Demuestra que G es cíclico si el subgrupo normal es de orden 2

Question

Dejemos que $|G|=2q$ para $q\geq3$ y $q$ es primo, y tiene un subgrupo normal de orden $2$ . Demostrar que $G$ es cíclico.

Esto es lo que hice:

Dejemos que $D$ sea un subgrupo normal de $G$ y $|D|=2$ , $D=\{e,a\}$ para algunos $a$ . He encontrado un grupo cociente de $|G/D|=q$ . Esto implica que $G/D$ es cíclico, por lo tanto abeliano.

Pero, ¿cómo implica esto que $G$ es cíclico? Porque sé que un grupo cociente de cíclico es cíclico, pero no sé al revés. ¡Por favor, ayuda!

¡Muchas gracias!

Answer 1

Elija un generador $g$ de $G/D$ y mira el orden de $g$ y $ga$ en $G$ .

Answer 2

Desde $H=\langle 1,y\rangle$ de orden $2$ es normal, dejemos que $g\in G\setminus H$ sea un elemento cualquiera, entonces $\mathrm{ord}(gyg^{-1})=2$ . Por lo tanto, es $y$ , por lo que el grupo $G$ es abeliana, por lo que es cíclica.