Rotación en $\mathbb{R}^n$

Question

Dejemos que $E_1:=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n : x_n = 0\}$ sea un hiperplano y que $E_2$ sea cualquier hiperplano que pase por el origen. Quiero encontrar un movimiento rígido $A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ tal que $A(E_2)=E_1.$ ¿Es correcto el siguiente procedimiento?

Desde $E_2$ pasa por el origen, es un $(n-1)$ -subespacio dimensional. Por Gram-Schmidt podemos encontrar un sistema ortonormal $(v_1,\ldots,v_{n-1})$ tal que $E_2=\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle$ . Dejemos que $w:= v_1 \times \ldots \times v_{n-1}$ (producto cruzado) sea el vector ortogonal a $v_1,\ldots,v_{n-1}.$ Entonces $A$ viene dada por $$x \mapsto\begin{pmatrix}\mid & \mid&\cdots & \mid\\ w & v_1 & \ldots & v_{n-1}\\ \mid & \mid&\ldots& \mid \end{pmatrix}^{-1}x.$$

Es $A$ ¿la rotación correcta?

Answer 1

Bienvenido a MSE. Tu argumento es casi correcto, pero hay un problema en tu definición para $w$ El producto cruzado sólo está definido para vectores en $\mathbb R^3$ ¡!

Entonces, ¿cómo encontramos este vector $w$ que es ortogonal a $(v_1, \cdots, v_n)$ ¿la base ortonormal del plano? Una solución es la proyección ortogonal. Es decir, elegir cualquier vector $w'$ que no está en el hiperplano, y restar sus componentes paralelas en las direcciones de $v_1, \dots, v_n$ para que sea perpendicular a todos ellos. Entonces, su matriz $A$ funcionará.