Trabajo sobre la independencia de pi y e

Question

Es un problema abierto demostrar que $\pi$ y $e$ son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}$.

• ¿Cuáles son algunos de los resultados importantes que conducen a probar esto?
• ¿Cuáles son las teorías y enfoques más prometedores para este problema?

Answer 1

La conjetura de Schanuel implicaría este resultado. Establece que si $z_1, \ldots, z_n$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$, entonces $\mathbb{Q}(z_1, \ldots, z_n, e^{z_1}, \ldots, e^{z_n})$ tiene un grado de trascendencia de al menos $n$ sobre $\mathbb{Q}$. En particular, si tomamos $z_1 = 1$, $z_2 = \pi i$, entonces la conjetura de Schanuel implicaría que $\mathbb{Q}(1, \pi i, e, -1) = \mathbb{Q}(e, \pi i)$ tiene un grado de trascendencia 2 sobre $\mathbb{Q}$.

Answer 2

Hay una prueba de la independencia algebraica de $\pi$ y $e^\pi$ en Introducción a la Teoría de la Independencia Algebraica y una exposición detallada de los métodos creados en los últimos 25 años aunque no la he leído.