Antecedentes:
Se puede demostrar que la energía potencial de distribución de la carga se puede calcular mediante
$U = \frac{1}{2}\int_V \rho(r')\Phi(r') d^3r' $
mediante integración por partes y la ecuación de Poisson $\Delta\Phi(r) = 4\pi \rho(r)$ la integral se puede reescribir
$U = \frac{1}{2}\int_V \rho(r')\Phi(r') d^3r' = \frac{1}{8\pi}\int_V (\nabla \Phi(r')) (\nabla \Phi(r') )d^3r' = \int_V \frac{|E(r')|^2}{8\pi}d^3r'$
El integrando de la integral puede interpretarse como la densidad de energía $u$ :
$u(r) = \frac{|E(r)|^2}{8\pi}$
Considerando un ejemplo de una esfera sólida cargada homogéneamente con radio $R$ :
$\rho(r) = \rho_0 \Theta(r-R)$
donde $\Theta(r)$ es la función "heavyyside".
Con $Q=\frac{4}{3}\pi \rho_0 R^3$ Esto da como resultado el siguiente potencial:
$\Phi(r) = \frac{Q}{R} \left(\frac{3}{2}-\frac{r^2}{2R^2} \right)$ para $r<R$
$\Phi(r) = \frac{Q}{r}$ para $r>R$
El campo eléctrico radial es:
$E(r) = \frac{Qr}{R^3}$ para $r<R$
$E(r) = \frac{Q}{r^2}$ para $r>R$
Teniendo esto en cuenta, podemos calcular la densidad de energía:
$u(r) = \frac{Q^2r^2}{8\pi R^6}$ para $r<R$
$u(r) = \frac{Q^2}{8 \pi r^4}$ para $r>R$
Integrando esto se obtendrá la energía potencial total:
$U = \int_0^{\infty} 4\pi r^2 u(r) dr = \frac{3Q^2}{5R}$
Ahora a mi pregunta:
Partiendo de la primera integral, ¿por qué no se puede definir la densidad de energía de la siguiente manera?
$u(r) = \frac{1}{2} \rho(r')\Phi(r')$
Si consideramos el ejemplo anterior, esto equivaldría a:
$u(r) = \rho_0 \frac{Q}{R} \left(\frac{3}{2}-\frac{r^2}{2R^2} \right) = \frac{3Q^2}{4\pi R^4} \left(\frac{3}{2}-\frac{r^2}{2R^2} \right)$ para $r<R$
$u(r) = 0$ para $r>R$
¡Integrando sobre esto obtenemos la misma energía (como era de esperar)!
$U = \int_0^{\infty} 4\pi r^2 u(r) dr = \frac{3Q^2}{5R}$
¿Cómo puede haber dos formas diferentes de definir una densidad de energía $u(r)$ . ¿En qué me he equivocado?
Se agradecerá la ayuda.
