Encontrar los valores de x para los que la serie converge

Question

Tenga lo siguiente:

$$\sum 2^{n}\log(1+\frac{1}{3^{n}})$$

Ahora estaba pensando que la mejor manera de acercarse sería a través de la prueba de la proporción, haciendo así llegué a lo siguiente,

$\rvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\rvert= \rvert \log(1+\frac{x}{3^{n+1}})\rvert$ Por lo tanto, utilizando el hecho de que para que esto converja debe ser menor que uno y dado que x>0, tenemos que x< $3^{n+1}(e-1)$ . No estoy seguro de si estoy siguiendo el camino correcto, cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Si su serie es realmente $$\sum_{n\ge 0}2^n\ln\left(1+\frac{x}{3^n}\right)\;,$$ su proporción debe ser $$\frac{2\ln\left(1+\frac{x}{3^{n+1}}\right)}{\ln\left(1+\frac{x}{3^n}\right)}\;.$$ Puedes usar la regla de l'Hospital para encontrar el límite de esto como $n\to\infty$ :

$$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{2\ln\left(1+\frac{x}{3^{n+1}}\right)}{\ln\left(1+\frac{x}{3^n}\right)}&=\lim_{n\to\infty}\frac{2\left(1+\frac{x}{3^{n+1}}\right)^{-1}(-x\ln 3)3^{-(n+1)}}{\left(1+\frac{x}{3^n}\right)^{-1}(-x\ln 3)3^{-n}}\\\\ &=\frac23\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{x}{3^n}}{1+\frac{x}{3^{n+1}}}\\\\ &=\frac23\;. \end{align*}$$

(No me he molestado en poner los valores absolutos, ya que aquí todo es positivo de todos modos).

Answer 2

Suponiendo, como deduzco de tu post, que la serie es $$\sum_n 2^n \log \left(1+\frac{x}{3^n} \right),$$ para cada fijo $x$ es asintótica a $$\sum_n 2^n \frac{x}{3^n},$$ que siempre es convergente. He utilizado el hecho de que $\log(1+\varepsilon) \sim \varepsilon$ como $\varepsilon \to 0$ .