Prueba: $X^\ast$ separables $\implies X$ separables

Question

Alguien me puede decir si tengo el derecho a lo siguiente:

Suponga $X$ a ser una normativa espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Demostrar que si el espacio dual $X^\ast$ es separable, a continuación, $X$ es separable así.

Voy a utilizar la siguiente sugerencia: en Primer lugar demostrar que para cada una de las $x_n^\ast$, se puede elegir una unidad de vectores $x_n \in X$ tal que $x_n^\ast (x_n) \geq \frac{\| x_n^\ast \|}{2}$. A continuación, mostrar que $\overline{Y} = \overline{span_\mathbb{Q} \{ x_n\}} = X$.

Mi respuesta:

(i) (por contradicción)

Asumir por parte de todos los $x_n \in X$ $\| x_n \|_X = 1$ que

$$x_n^\ast (x_n) < \frac{\| x_n^\ast \|}{2} \iff 2 x_n^\ast (x_n) < \sup_{x_n; \| x_n \|_X = 1 } \{ | x_n^\ast(x_n) | \}$$

Reclamo: A Continuación,$\exists r \in \mathbb{R}: x_n^\ast(x_n) < r < \sup_{\dots}\{\dots \}$:

(i) $x_n^\ast (x_n) \neq 0$: debido a $\| x_n \| = 1$ $x_n^\ast$ lineal

(ii) si $x_n^\ast (x_n) < 0$ $2 x_n^\ast (x_n) < x_n^\ast (x_n) < x_n^\ast(- x_n) < 2 x_n^\ast(-x_n) < \sup_{\dots} \{ \dots \}$

(iii) $x_n^\ast(x_n) > 0$ $\forall x_n: x_n^\ast (x_n) < 2 x_n^\ast (x_n) < \sup$

$\implies$ $\sup$ no es el l.u.b., la contradicción, por lo que la demanda $x_n^\ast (x_n) \geq \frac{\| x_n^\ast \|}{2}$ es cierto.

(ii) el Uso de:

$x \in \overline{Y} \iff \lnot \exists$ delimitada lineal funcional $f^\ast$ tal que $f^\ast (y ) = 0 \forall y \in Y$ $f^\ast (x) \neq 0$

Deje $f^\ast \in X^\ast$. A continuación, $\{ x_n^\ast \}$ denso en $X^\ast \implies$

$$\forall \varepsilon > 0 \exists x_n^\ast : \| x_n^\ast - f^\ast \| = \sup_{x \in X: \| x \| \leq 1} \{ |x_n^\ast (x) - f^\ast(x)| \} < \varepsilon$$

Pero para $x_n \in Y \subset X (\| x_n \| = 1)$ sabemos $$| x_n^\ast (x_n)| \geq x_n^\ast (x_n) \geq \frac{\| x_n \|}{2} > 0$$

así que si $f^\ast (y) = 0 \forall y \in Y$

$$0 < \frac{\| x_n \|}{2} \leq |x_n^\ast (x_n)| = |x_n^\ast (x_n) - f^\ast(x_n)|$$

$$\implies \exists \varepsilon: \sup |x_n^\ast (x_n) - f^\ast(x_n)| > \varepsilon$$

$$\implies \lnot \exists f^\ast \in X^\ast : \forall y \in Y: f^\ast (y) = 0$$

$$x \in \overline{Y}$$

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Para cortar una larga historia corta: realmente no seguir lo que están haciendo en "(i) (por contradicción)", ya que la notación es muy confuso, pero el argumento de "(ii) Uso:..." es básicamente de acuerdo, aunque sólo apenas legible.

Un par de observaciones:

1. Usted no dice lo $\{x_{n}^\ast\}_{n=1}^\infty$ es. Claramente, no es el supuesto implícito de que $D = \{x_{n}^\ast\}_{n=1}^\infty$ es una contables norma-denso subconjunto del espacio de Banach duales $X^\ast$$X$.

   Siempre estado lo asume usted! Por ejemplo, la elección de la $Y$ más adelante indica que se trabaja con un real espacio de Banach (que debe saber que este es asumida, si no el estado?)

2. Fix $n$. Por definición de la norma en $X^\ast$ hemos $$\|x_{n}^\ast\|_{X^\ast} = \sup_{\Vert x\Vert=1} |x_{n}^\ast (x)|.$$ La definición de la supremum nos ofrece una $x$ tal que $\|x\| = 1$ $\|x_{n}^\ast\|_{X^\ast} \geq |x_{n}^\ast(x)| \geq \|x_{n}^\ast\|_{X^\ast} / 2$ (si $x_{n}^\ast = 0$ cualquier $x$$\|x\| = 1$).

   Multiplicando $x$, con una adecuada escalares $\lambda = e^{i\alpha}$ (o $\pm 1$ si, de hecho, podemos trabajar a través de los reales), podemos poner $x_n = \lambda x$ con el fin de obtener $x_{n}^\ast(x_n) \geq \|x_{n}^\ast\|_{X^\ast}/2$. Hacer esto para cada $n$ un $S = \{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset X$ tal que para cada una de las $n$ tenemos $\|x_{n}\|_{X} = 1$$x_{n}^\ast(x_n) \geq \|x_{n}^\ast\|_{X^\ast}/2$.

   Esto toma el cuidado de su punto (i).

3. Deje $S =\{x_n\}_{n=1}^\infty \subset X$ el conjunto elegido en 2 y deje $Y=\operatorname{span}_{\mathbb{Q}}\,{S} \subset X$ el conjunto de los racionales de las combinaciones lineales de elementos de $S$ (si nos ocurriera a trabajar sobre el conplex números $\mathbb{Q}+i\mathbb{Q}$ en lugar de $\mathbb{Q}$). A continuación, $Y$ es contable (decir eso!). Queremos mostrar que $Y$ es denso en $X$, por lo que el $X$ es de hecho separables.

   Tenga en cuenta que el cierre de la $\overline{Y}$ $Y$ es un subespacio lineal de $X$ (¿por qué?).

   Asumen ante una contradicción que $\overline{Y}$ no $X$. Por Hahn-Banach podemos encontrar una funcional lineal continua $0 \neq x^\ast \in X^\ast$ tal que $x^\ast|_\overline{Y} = 0$. Por norma densidad de $D$$X^\ast$, podemos encontrar una $x_{n}^\ast$ $D$ tal que $\Vert x^\ast - x_{n}^\ast \Vert_{X^\ast} \lt 1/4$ . Debido a $x_n$ $\overline{Y}$ tenemos $x^\ast(x_n) = 0$ y por lo tanto $$\frac{1}{2} \leq |x_{n}^\ast(x_n)| = |x_{n}^\ast(x_n) - x^\ast(x_n)| \leq \Vert x_{n}^\ast - x^\ast\Vert_{X^\ast} \, \|x_{n}\| \lt \frac14,$$ lo cual es una contradicción. Hecho.

   Nota. No estoy seguro de si eso era un error tipográfico, pero en realidad no necesitamos un argumento extra en 2. donde nos muestran que podemos encontrar $x_n$ tal que $x_{n}^\ast(x_n) \geq \|x_{n}^\ast\|/2$ (sin módulo de señales).

4. Iniciar la prueba de (ii) diciendo ", a Continuación, $\{x_n\}$ denso en $X$" — espera, ¿qué?! estás suponiendo que lo que quieres demostrar? — Ah, no, está bien, te refieres a $\{x_{n}^\ast\}$ denso en $X^\ast$. pheew. Entonces a la conclusión de que el argumento más o menos de la misma manera como lo hice, pero su exagerado formalismo que hace que este extremadamente difícil de seguir.

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Por último, un par de cosas que me han dicho una y otra vez:

1. Deshacerse de todos los símbolos: $\forall, \exists, \implies, \iff, \lnot$ cuando estás escribiendo cosas.

   Son desagradables a la vista y difícil de descifrar.

   Escribir en prosa. El uso de fórmulas sólo cuando es absolutamente necesario.

2. Favor de hacer completa, gramaticalmente correcta de las frases. No hay una sola frase completa en todo su solución!

La idea del punto 1. es que te obliga a observar el punto 2. y si usted observa el punto 2. se ve obligado a eliminar a todos los cuantificadores, implicación canta y otra lógica de los símbolos de su escritura.

Por favor eche un vistazo a

• J. Milne página: Consejos para los autores.

• D. Goss: Algunos Consejos sobre la Matemática Estilo basado en consejos por Serre.

Answer 2

Voy a comentar sólo en lo que usted escribió para (i):

Asumir por parte de todos los $x_n \in X$ $\| x_n \|_X = 1$ que

$$x_n^\ast (x_n) \lt \frac{\| x_n^\ast \|}{2} \iff 2 x_n^\ast (x_n) \lt \sup_{x_n; \| x_n \|_X = 1 } \{| x_n^\ast(x_n)|\}$$

Reclamo: A Continuación,$\exists r \in \mathbb{R}: x_n^\ast(x_n) \lt r \lt \sup_{\dots}\{\dots \}$:

(i) $x_n^\ast (x_n) \neq 0$: debido a $\| x_n \| = 1$ $x_n^\ast$ lineal

(ii) si $x_n^\ast (x_n) \lt 0$ $2 x_n^\ast (x_n) \lt x_n^\ast (x_n) \lt x_n^\ast(- x_n) \lt 2 x_n^\ast(-x_n) \lt \sup_{\dots} \{ \dots \}$

(iii) $x_n^\ast(x_n) \gt 0$ $\forall x_n: x_n^\ast (x_n) \lt 2 x_n^\ast (x_n) \lt \sup$

$\implies$ $\sup$ no es el l.u.b., la contradicción, por lo que la demanda $x_n^\ast (x_n) \geq \frac{\| x_n^\ast \|}{2}$ es cierto.

El primer problema, y es uno de los principales, es que de inmediato usted está usando $n$, para las dos cosas completamente diferentes. Por un lado es aparentemente debe ser el índice de un particular, fija los miembros de algunos contables norma-denso subconjunto de $X^*$, a pesar de que en realidad nunca dijo eso. Por otro lado, es un muñeco índice de escoger a los miembros de $X$ norma $1$; esto sería una mala idea, incluso si no estaban ya en uso $n$ algo más, ya que no hay ninguna razón para suponer que sólo hay countably muchos de los elementos de $X$ norma $1$. Usted debería haber comenzado algo como esto:

Deje $D=\{x_n^*:n\in\mathbb{N}\}$ ser una contables norma-denso subconjunto de $X^*$. Fix $x_n^*\in D$, y asumir por cada una de las $x\in X$ $\|x\|=1$ que $$x_n^*(x)<\frac{\|x_n^*\|}2.$$

Tenga en cuenta que dejé antes de su $\iff$ símbolo: eso es porque lo que sigue es que no se parte de la suposición, sino una inferencia a partir de su asunción, por lo que no pertenecen a la misma cláusula de suponer que. Una vez que usted haya indicado claramente su suposición, entonces usted puede ir y sacar conclusiones:

Esto implica que $$2x_n^*(x)<\sup_{\|y\;\|=1}\|x_n^*(y)\|$$ for each $x\in X$ with $\|x\|=1$.

Tenga en cuenta que tuve que usar una letra diferente para la variable ficticia ($y$) en el supremum de la utilizada para la específica $x$ norma $1$ en los alrededores de la declaración: se refieren a objetos diferentes.

La línea que comienza Afirmación no tiene sentido, incluso después de los puntos suspensivos al final es llenado correctamente. (Nota, por cierto, que esto es algo que debería haber hecho de ti, de modo que el lector no tiene que adivinar; con cortar y pegar es completamente trivial.) Usted todavía tiene $n$, lo cual significa dos cosas diferentes, y no está claro si estamos hablando de hablar acerca de un determinado $x$ norma $1$ o todos ellos juntos. Sospecho que significaba esto:

Reclamo: Hay un $r\in\mathbb{R}$ tal que $$x_n^*(x)<r<\sup_{\|y\;\|=1}|x_n^*(y)|$$ for each $x\in X$ of norm $1$.

Presumiblemente lo que sigue se supone que es una prueba de la reclamación. Lo dicen.

Prueba de Reclamación: Fix $x\in X$ norma $1$. Desde $\|x_n^*\|$ es lineal, $x_n^*(x)\ne 0$.

Esto no parece seguir. De hecho, no parece haber nada en su argumento de aquí a fin de excluir la posibilidad de que $x_n^*$ es el cero funcional.

Si $x_n^*(x)>0$, luego $$x_n^*(x)<2x_n^*(x)<\sup_{\|y\;\|=1}|x_n^*(y)|\;,$$ and if $x_n^*(x)<0$, then $$2x_n^*(x)<x_n^*(x)<x_n^*(-x)<2x_n^*(-x)<\sup_{\|y\;\|=1}|x_n^*(y)|\;.$$

Esto no en el hecho de demostrar que la reclamación; simplemente muestra que para cada una de las $x\in X$ de la norma $1$, $$x_n^*(x)<\|x_n^*\|=\sup_{\|y\;\|=1}|x_n^*(y)|\;,$$ i.e., that $x_n^*$ does not attain its norm on $\{y\en X:\/y\/=1\}$.

Había hecho el esfuerzo de escribir de manera inteligible, pensando en lo que estaba diciendo en realidad, usted puede haber notado que gran parte de ella no tiene sentido y que no en el hecho de hacer lo que quería hacer. A menos que usted habría hecho lo posible para que los demás a reconocer los problemas y ayudar con ellos mucho más fácilmente.

Recuerde: Una prueba es sólo un tipo particular de prosa expositiva. Debe constar de los apartados de las sentencias. Sí, es a menudo contienen símbolos especiales, pero NO el uso de símbolos por el mero hecho de hacer uso de ellas. El objetivo es convencer al lector de que algo es verdad, y usted no puede hacer esto si usted no puede hacer usted mismo entiende.