¿Cuál es la relación entre todas las funciones zeta dinámicas y las funciones zeta teóricas de los números?

Question

Se puede asociar a cualquier sistema dinámico una función zeta basada en el recuento del número de puntos fijos de los iterados de la transformación. Explícitamente tenemos: $$\zeta_{A} = exp \left( \sum_{n=1} \frac{1}{n}\left | Fix(f^{n}) \right | z^{n} \right)$$ Del mismo modo, se pueden definir otras funciones zeta asociadas a sistemas dinámicos de todo tipo. Estas funciones zeta admiten una representación del producto, una continuación meromórfica y las demás buenas propiedades de las funciones zeta. Mi pregunta es: ¿existe alguna relación rigurosa entre estas funciones zeta dinámicas y las aritméticas más allá de la mera analogía o inspiración?

Answer 1

Sí, la relación proviene de observar la función zeta dinámica del mapa de Frobenius que actúa sobre el $\overline{\mathbb{F}}_p$ -puntos de una variedad más $\mathbb{F}_p$ . Esto reproduce la función zeta de la variedad en el sentido habitual (el de las conjeturas de Weil).