encontrar la matriz del operador lineal en la base

Question

Operador lineal $\mathcal{A}$ transforma los vectores $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$ en $\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_3$ Así que..:

$$\mathcal{A}(\mathbf{e}_1)= \mathbf{f}_1\\\mathcal{A}(\mathbf{e}_2)= \mathbf{f}_2\\\mathcal{A}(\mathbf{e}_3)= \mathbf{f}_3$$

Encontrar la matriz del operador lineal en $\langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \rangle$

donde:

$$\mathbf{e}_1=(1,-2,2), \quad \mathbf{e}_2=(-1,2,0),\quad \mathbf{e}_3=(1,3,1) \\ \mathbf{f}_1=(-2,9,-1), \quad \mathbf{f}_2=(2,1,3), \quad \mathbf{f}_3=(-1,7,1)$$

Estoy más confundido con la pregunta de la tarea, no sé cómo enfocarla, la única idea que tengo es encontrar la matriz de transformación $\mathbf{e} \rightarrow \mathbf{f}$

Pero no estoy seguro de si es el entendimiento correcto, dame la dirección correcta, por favor

Answer 1

$A:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{3}$ es una transformación lineal que envía $e_{1}\to f_{1}, e_{2}\to f_{2}, e_{3}\to f_{3}$ . Ahora se le da a encontrar la matriz del mapa w.r.t $\{\ e_{1}, e_{2}, e_{3} \}\ $ . Por lo tanto, exprese cada $f_{i}$ como una combinación lineal de $e_{i}$ 's. Y entonces puedes escribir fácilmente la matriz escribiendo el coeficiente por columnas.

Así que, $A(e_{1})=(-2,9,-1)=c_{1}(1,-2,2)+c_{2}(-1,2,0)+c_{3}(1,3,1)$

Por lo tanto, usted tiene $$c_{1}-c_{2}+c_{3}=-2$$

$$-2c_{1}+2c_{2}+3c_{3}=9$$

$$2c_{1}+c_{3}=-1$$

Resuelve para encontrar las incógnitas.De forma similar tienes que hacer para las otras dos imágenes.

Answer 2

PISTA: la matriz $A$ de $T$ bajo la base $e_1,e_2,e_3$ en el dominio y $f_1,f_2,f_3$ en el codominio se define por

$$Te_k=\sum_{j=1}^3A_{j,k}\,f_j,\quad k\in[3]$$

donde $A_{j,k}$ son los coeficientes de $A$ .