Encuentre $\ \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ si $\ z=f(x,y)$

Question

Encuentre $\ \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ si $\ z=f(x,y)$ es diferenciable y satisface la siguiente ecuación:

$\ xe^{yz} - 2ye^{xz} + 3ze^{xy} = 1$

No lo entiendo, ¿tengo que sustituir $\ z$ en la ecuación y sólo calcular las derivadas parciales o hay algo más?

Answer 1

En el primer caso $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $f(x,y)$ es parcialmente diferenciado con respecto a $x$ Así que $y$ se trata como una constante.
El segundo caso es viceversa.
Por ejemplo, para el primer término $\frac{\partial z}{\partial x}(xe^{yz})= e^{yz}+yz'e^{yz}x$
También se conoce como diferenciación implícita, como se menciona en los comentarios.

Answer 2

$g(x,y,z)=xe^{yz}-2ye^{xz}+3ze^{xy}-1=0$ ; $z_x\overset{def}=\dfrac{\partial z}{\partial x}$ ; $z_y\overset{def}=\dfrac{\partial z}{\partial y}$

$$\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^{yz}-2ye^{xz}+3ze^{xy}-1)=$$

$$=e^{yz}(1+xyz_x)-2ye^{xz}(z+xz_x)+3e^{xy}(z_x+zy)=0$$

$$z_x(xye^{yz}-2yxe^{xz}+3e^{xy})+e^{yz}-2yze^{xz}+3zye^{xy}=0$$

$$z_x=\frac{-e^{yz}+2yze^{xz}-3zye^{xy}}{xye^{yz}-2yxe^{xz}+3e^{xy}}$$

Y lo mismo para $z_y$ ...

Utilice la lupa para ver $\dfrac{\partial}{\partial x}xe^{yz}$ . Es un producto de $x$ que depende de $x$ directamente, con la derivada $1$ y $e^{yz}$ que depende de $x$ a través de $z$ con la derivada $yz_xe^{yz}$ Así que $\dfrac{\partial}{\partial x}xe^{yz}=e^{yz}+xyz_xe^{yz}$