Al mirar el diagrama de bifurcación de un sistema caótico, se observan "ventanas de orden", es decir, intervalos cortos en los que el sistema abandona brevemente su estado caótico y luego vuelve rápidamente al caos. Estos intervalos son bastante periódicos. ¿Alguien tiene una buena explicación para esto?
Gracias.
Sigo la explicación de Steven H. Strogatz en su libro Dinámica no lineal y caos a lo largo de esta respuesta. Un gran libro, que merece la pena leer. Véase también el explicación detallada en el sitio web de wolfram .
Utilicemos el mapa logístico $x_{n+1} = rx_n(1-x_n)$ como ejemplo. Su diagrama de bifurcación se ve así (cortesía de wikipedia):
La ventana más fácil de considerar es la del periodo 3, cerca de $r=3.83$ donde, a partir del caos, aparece un triciclo estable. El mecanismo responsable de la aparición de esta ventana es el mismo para todas las demás, así que podemos fijarnos simplemente en esta fácil para entenderlas todas.
Ahora, denota $f(x) = rx(1-x)$ para que el mapa logístico se convierta en $x_{n+1} = f(x_n)$ . Entonces también podemos escribir $x_{n+2} = f(x_{n+1}) = f(f(x_n)) \equiv f^2(x_n)$ . Llamamos $f^2$ el mapa de segunda iteración. Ahora, el tercer mapa iterativo, $f^3$ es responsable de la ventana del periodo 3.
Un ciclo de 3, por su definición, vuelve a cualquier punto $p$ después de 3 iteraciones. Así que estos puntos satisfacen $p=f^3(p)$ trivialmente, por lo que son puntos fijos para el mapa de tercera iteración. Ahora bien, este mapa de tercera iteración es un polinomio de octavo grado, por lo que no podemos encontrar sus puntos fijos de forma analítica, pero una representación gráfica es una forma más clara de mostrar lo que ocurre de todos modos. La figura siguiente muestra la gráfica del mapa de tercer grado para un $r$ en la ventana del periodo 3, junto con el gráfico de $y=x$ . Los puntos de intersección de las dos gráficas son entonces las soluciones de $f^3(x^*)=x^*$ estamos buscando.
De las 8 soluciones de la ecuación $f^3(x^*) = x^*$ dos (marcados en rojo) también satisfacen $f(x^*) = x^*$ . Por lo tanto, esos son también puntos fijos del mapa original y no auténticos periodos 3. Las seis soluciones restantes sí corresponden a triciclos. Tres de ellas (marcadas con puntos negros rellenos) corresponden al triciclo estable observado, mientras que las otras tres (marcadas con puntos sin rellenar) corresponden a uno inestable.
Ahora supongamos que disminuimos el parámetro $r$ (el régimen caótico está en $r<3.8284...$ ). Esto hará que los picos en el gráfico de $f^3$ para bajar y los valles para subir. Cuanto más nos acerquemos al régimen caótico, más cerca estará la línea diagonal de la intersección $f^3$ tangencialmente en tres puntos. Bajando $r$ un poco más hará que no haya más intersección de la diagonal, salvo los puntos rojos. Esto es obviamente una bifurcación, específicamente una bifurcación tangente . Aquí nace la ventana del periodo 3.
Nota interesante: Myrberg demostró en 1958 que el punto en el que se produce esta bifurcación puede derivarse analíticamente para ser $r = 1+\sqrt{8} \approx 3.8284$ .
El camino de vuelta al caos es a través de la duplicación de períodos: un bifurcación de la tapa tiene lugar cuando $r$ supera un determinado valor $r_2$ (digamos que el 3er ciclo nace en $r_1$ ) y el atractor pasa de ser de 3 a 6 ciclos. Para algunos $r=r_3$ se produce otra bifurcación y así sucesivamente. Las bifurcaciones se producen cada vez más rápido, convergiendo a un cierto valor $r_{\infty}$ . Para $r > r_{\infty}$ el atractor pasa de ser un conjunto de puntos finito a infinito y el comportamiento del mapa se vuelve caótico. Este es el mismo mecanismo por el que el mapa logístico se vuelve caótico en primer lugar.
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