Se eligen tres números al azar entre 0 y 1. ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia entre el mayor y el menor sea menor que 1/3? He visto una solución con el cálculo, pero ¿hay alguna forma de hacerlo que no sea con el cálculo?
Respuesta
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Dejemos que $A$ sea el caso de que los tres números elegidos sean al menos $\frac{2}{3}$ . Dejemos que $B$ sea el caso de que el primer número elegido sea el menor de los tres, sea menor que $\frac{2}{3}$ y está dentro de $\frac{1}{3}$ de los demás. La probabilidad que queremos es, por simetría, $P(A)+3P(B)$ (el factor adicional de $3$ de elegir el número más pequeño).
Tenemos $P(A)=(\frac{1}{3})^3$ .
Para $B$ para que ocurra, primero necesitamos nuestro primer número $x$ para ser menos que $\frac{2}{3}$ (que ocurre con probabilidad $\frac{2}{3}$ ). Condicionando a esto, la probabilidad de que los dos siguientes números estén ambos en $[x,x+\frac{1}{3}]$ es $\frac{1}{9}$ .
Juntando todo, la probabilidad es $$\frac{1}{27}+(3)(\frac{2}{3})(\frac{1}{9})=\frac{7}{27}$$
