¿Es un grupo abeliano elemental un espacio vectorial simpléctico no degenerado?

Question

Dejemos que $A$ sea un grupo abeliano elemental con $|A|=p^{n}$ donde $p$ es un número primo y $n$ es par. Es bien sabido que podemos considerar $A$ como un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre el campo $F_p \cong \mathbb{Z}_p$ .

Considerando la estructura del espacio vectorial anterior para A, podemos decir $A$ es un espacio simpléctico no degenerado? ¿Existe alguna forma bilineal no degenerada y simétrica sobre $A$ ?

Answer 1

Veamos para simplificar el caso $n = 2$ . Considere una base $a, b$ de $A$ y definimos el emparejamiento como $$\omega(xa + yb, za + wb) = xw - yz$$ Entonces no es muy difícil demostrar que se trata de una forma alternante en $V$ . También es no degenerada. Además, puede ser representada por la matriz $$\omega = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ A partir de aquí no debería ser demasiado difícil ver cómo se puede ampliar esta idea...

Answer 2

Utilizando la idea de azimut en respuesta a esta pregunta podemos considerar la forma bilineal
$\\\hspace{6cm} f : \mathbb{Z}_p^n\times\mathbb{Z}_p^n\to \mathbb{Z}_p$ , $\\\quad ((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)) \mapsto (x_1y_2 - x_2 y_1) + (x_3 y_4 - x_4 y_3) + \ldots + (x_{n-1} y_n - x_n y_{n-1})$

que es una forma bilineal no degenerada y sesgada sobre $A \cong \mathbb{Z}_p^n$ .