Expectativa en el momento de la parada = Expectativa al principio

Question

Espero no estar repitiendo radicalmente una pregunta aquí, pero tengo algunos problemas para entender la propiedad de la martingala en los tiempos de parada. Digamos que tengo una martingala $\{X_n,n\in\mathbb{N}\}$ y un tiempo de parada $\tau$ que es finito: $$\mathbb{P}(\tau<\infty) = 1$$ ¿Qué tengo que demostrar para poder decir: $$\lim_{n\rightarrow\infty} \mathbb{E}\left[\hat{X}_{\tau\wedge n}\right] = \mathbb{E}\left[\lim_{n\rightarrow\infty}\hat{X}_{\tau\wedge n}\right] = \mathbb{E}\left[\hat{X}_\tau\right] = \mathbb{E}\left[\hat{X}_1\right]$$

Voy a resumir las cuestiones que se plantean:

• ¿Necesito mostrar explícitamente la convergencia dominada para intercambiar el límite y la expectativa?
• ¿Implica un tiempo de parada finito que $\tau$ ¿es un tiempo de parada limitado?
• ¿Juega aquí un papel importante la convergencia de la martingala?

Agradezco mucho su ayuda.

Answer 1

1. Hay más cosas que nos permiten cambiar el límite y la expectativa:

   $\bullet L_1$ convergencia (o superior)

   $\bullet$ Convergencia dominada ( $X_{\tau\wedge n}$ puede ser acotado desde arriba por una función integrable)

   $\bullet$ Convergencia monótona ( $X_{\tau\wedge n}$ es estrictamente positivo)

2. Un tiempo de parada finito no implica $\tau$ estar acotado. Un tiempo de parada acotado requiere: $$\tau \leq c < \infty$$ Tener un tiempo de parada finito produce, por ejemplo: $$\lim_{n\rightarrow\infty}\tau \wedge n = \tau$$

3. Como se ha dicho anteriormente, $L_p$ converge implica que el límite se puede intercambiar con la expectativa.

Esta respuesta no es realmente matemática pero ayudará a los novatos como yo...