Continuidad de la ecuación diferencial a trozos

Question

Mi pregunta no tiene nada que ver con la resolución del siguiente problema, pero lo he puesto a continuación para que sea más fácil. La pregunta dice que tenemos que resolver

$y''+4y=g(x)$ con $g(x) = \begin{cases} \sin x & 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \\ 0 & x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$

se nos da un valor inicial de $y(0)=1, y'(0)=2$

Mi pregunta es la siguiente: La solución dice que debemos encontrar una solución para que $y$ y $y'$ son continuas en $x=\frac{\pi}{2}$

Mi pregunta es por qué ambos $y$ y $y'$ ¿tiene que ser continuo? ¿Por qué no basta con tener continuidad sólo para $y$ ?

Answer 1

Si $y'$ no sería continúa en $x=\frac\pi2$ y luego su derivada, $y''$ sería infinito (o al menos no estaría bien definido) en ese punto, lo que no concordaría con la ecuación diferencial.