Prueba

Question

Me gustaría demostrar que:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}e^{-t} \mathrm dt=-\sqrt{\pi}(\gamma+\ln{4})$$

Traté de usar la integral $$\int_{0}^{n} \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}\left(1-\frac{t}{n}\right)^n \mathrm dt$$

$$\int{0}^{n} \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}\left(1-\frac{t}{n}\right)^n \mathrm dt \;{\underset{\small n\to\infty}{\longrightarrow}}\; \int{0}^{\infty} \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}e^{-t} \mathrm dt$$ (teorema de convergencia dominada)

Usando la sustitución $t\to\frac{t}{n}$, obtengo:

$$ \int{0}^{n} \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}\left(1-\frac{t}{n}\right)^n \mathrm dt=\sqrt{n}\left(\ln(n)\int{0}^{1} \frac{(1-t)^n}{\sqrt{t}} \mathrm dt+\int_{0}^{1} \frac{\ln(t)(1-t)^n}{\sqrt{t}} \mathrm dt\right) $$

Sin embargo, no sé si estoy en el camino correcto para que estas nuevas integrales se vean bastante complicadas.