$x$ Es racional o irracional cuando $2^{x}+3^{x}=6$. ¿Cómo demostrar que?
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Wojowu
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Supongamos $x=\frac{m}{n}$ es racional para $n,m\in\Bbb N$. Es claro que $2^x=\sqrt[n]{a}$ $3^x\sqrt[n]{b}$ no son números enteros, donde $a=2^m,b=3^m$, por lo tanto son irracionales (primaria, resultado que $n$-ésima raíz de un número entero es un número entero o es irracional). Por la respuesta positiva a esta pregunta se desprende que una suma de raíces irracionales de enteros positivos es irracional, por lo tanto no puede ser 6. Esta es una contradicción.
Por lo tanto $x$ es irracional.
En realidad, no necesitamos toda la fuerza del teorema del post anterior. Desde $2,3$ son relativamente primos, el resultado de este papel, que es completamente elemental, es aplicable.
rlpowell
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Si $\gcd(m,n)=1$$n\gt1$, y dejamos $u=2^{m/n}$, el polinomio mínimo de a $u$ es de grado $n$, es decir,$P(u)=u^n-2^m=0$. Pero si $2^{m/n}+3^{m/n}=6$, luego
$$3^m=(6-u)^n=6^n-{n\choose1}6^{n-1}u+\cdots+(-1)^nu^n$$
que podemos reescribir como
$$Q(u)=(-1)^nu^n+\cdots-{n\choose1}6^{n-1}u+6^n-3^m=0$$
La adición o sustracción de $P$ $Q$ a cancelar la $u^n$ plazo da un polinomio de menor grado con $u$ como una raíz, contradiciendo la supuesta minimality de $P$. Por lo tanto la ecuación de $2^x+3^x=6$ no está satisfecho por cualquier valor racional de $x$ (desde $2^m+3^m\not=6$ para cualquier enteros $m$).
Nota, la prueba es simple, sólo porque estamos considerando sólo la suma de los dos poderes racionales. Una ecuación como $2^x+3^x+5^x=30$ (creo) requieren el más general de los resultados se hace referencia en Wojowu la respuesta.
