Problema: cuando la suma de dos cuadrados es un cuadrado

Question

Por favor, necesito ayuda para resolver el siguiente problema:

Dejemos que $K$ sea un campo con característica diferente de $2$ y $3$ . Demuestre que los siguientes enunciados son equivalentes:

1. La suma de dos cuadrados de $K$ es un cuadrado en $K$
2. Si un polinomio cúbico se divide en $K$ entonces también su derivada se divide en $K$

Escribí algo en el caso $1\Rightarrow2$ : podemos suponer que el cúbico $f$ es mónico y que $f=(X-a_1)(X-a_2)(X-a_3)$ . Después de un cálculo tenemos $$f'=3X^2-2(a_1+a_2+a_3)X+a_1a_2+a_2a_3+a_1a_3$$ y basta con demostrar que el discriminante de $f'$ es un cuadrado. Así que calculando el discriminante:

$$\Delta=4(a_1^2+a_2^2+a_3^2-a_1a_2-a_2a_3-a_1a_3)$$

Pero entonces no puedo continuar, debo expresar $\Delta$ como suma de cuadrados. Alguna idea sobre $2\Rightarrow 1$ ?

Gracias de antemano

Answer 1

En resumen:

$(1) \Rightarrow (2)$ Si (1) es cierto, entonces por inducción cualquier suma de cuadrados es a su vez un cuadrado. La fórmula de Daniel Fischer $\Delta= 2(\sum_{i \lt j}(a_i-a_j)^2)$ muestra que $\Delta$ es una suma de seis cuadrados, así que $\Delta$ es a su vez un cuadrado.

$(2) \Rightarrow (1)$ Supongamos que (2) es cierto. Sea $a,b\in K$ . Debemos demostrar que $a^2+b^2$ es un cuadrado. Podemos suponer WLOG que $a$ y $b$ son no son cero. El polinomio cúbico $Q_1=(X-\frac{1}{2})(X-\frac{2}{2})(X-\frac{3}{2})$ divide en $K$ por lo que su derivada $Q’_1=3X^2-6X+\frac{11}{4}$ también se divide en $K$ Así que $3={\sf disc}(Q'_1)$ es un cuadrado en $K$ .

El polinomio cúbico $Q_2=\frac{(X^2-3)(aX-b)}{6}$ divide en $K$ por lo que su derivada $Q’_2=\frac{a}{2}X^2-bX-\frac{a}{2}$ también se divide en $K$ Así que $a^2+b^2={\sf disc}(Q'_1)$ es un cuadrado en $K$ como deseaba.