Supongamos que $X_i:\Omega \to \mathbb{R}$ son independientes. Consideremos una función $f(n)$ que va a $+\infty$ como $n\to \infty$ y así $(\sum_{i=1}^n X_i)/f(n)$ es una media generalizada.
Tengo entendido que si $f(n) \to \infty$ como $n \to \infty$ entonces el evento $E_r = \{ \omega \in \Omega \mid (\sum X_n(\omega))/f(n) \to r \in \mathbb{R} \}$ es un evento de cola, por lo que su probabilidad es cero o uno.
En consecuencia, si $X_n/f_n \xrightarrow{a.s.} X$ entonces $X$ debe ser casi seguramente constante.
Así que algo como $(\sum_{i=1}^n (X_i - \mu_i))/\sigma_i\sqrt{n}$ que a menudo encontramos para converger en la distribución a alguna distribución agradable $D$ , suelen divergir de forma casi segura. (A menos que $D$ es como un delta).
¿Puede alguien ayudarme a entender por qué debe divergir casi con seguridad, a través de una amplia variedad de opciones para $X_i$ ?
Mi intento : Como estamos normalizando $Z_i = (X_i - \mu_i)/\sigma_i$ para que esté centrado en cero con una varianza prescrita, debemos pensar en $\sum_{i=1}^nZ_i/f(n)$ como algo parecido a las sumas parciales de una serie alterna. Así que no es de extrañar que las sumas parciales no se vayan al infinito.
Por otro lado, supongamos que $\sum_{i=1}^n Z_i /f(n)$ convergen a alguna variable aleatoria con casi total seguridad. ¿Cuál sería esa variable aleatoria $X$ ¿es posible que se vea así? Sería bastante difícil de describir en función de $\omega \in \Omega$ ...nuestra variable $\omega$ básicamente tendría que codificar toda la información $X_1(\omega), X_2(\omega), \dotsc$ y, por tanto, sería difícil describir la velocidad límite. $X$ de una manera más sencilla.
Sin embargo, no veo por qué no suele existir dicha variable $X$ ...es decir, ¿por qué $\sum_{i=1}^nZ_i/f(n)$ no sentar la cabeza, en general? Supongo que lo dice porque $\sum_{i=1}^n|Z_i(\omega)|/f(n)$ no suele converger, y como no es una serie estrictamente alterna, habrá subsecuencias $\left| \sum_{i=k}^{k+N}|Z_i(\omega)|/f(k+N)\right|>\epsilon$ para un nivel arbitrario de $k$ .
