Una desigualdad cuadrática relacionada con la $\log$ función

Question

Supongamos que $c_1,c_2,\cdots,c_n \in \mathbb{R}$ tal que su suma es $0$ Demuestre que para todo número real positivo $x_1,x_2,\cdots,x_n$ se cumple la siguiente desigualdad: $$ \sum\limits_{i,j=1}^{n} c_ic_j \log(x_i+x_j) \leq 0$$

De dónde viene este problema El problema original está relacionado con el concepto de kernel en el campo del aprendizaje automático. El problema me pide que demuestre que el kernel $K(x,y) := \log(x+y), x,y>0$ es un núcleo NDS (simétrico definido negativo), que es equivalente al problema planteado al principio.

Un resultado del aprendizaje automático afirma que $K$ es un núcleo NDS si $\exp(-tK)$ es un núcleo PDS para todos los $t>0$ por lo que el problema se reduce a demostrar que $$[(x_i+x_j)^{-t}]_{1\leq i,j \leq n}$$ es una matriz semidefinida positiva. Además, sólo necesitamos demostrar este resultado para $0<t<1$ porque la matriz $$[(x_i+x_j)^{-1}]_{1\leq i,j \leq n}$$ es semidefinida positiva (como caso especial de la matriz de Cauchy), y si $(a_{ij})$ y $(b_{ij})$ son semidefinidos positivos, entonces $(a_{ij}b_{ij})$ también es semidefinido positivo.

PREGUNTA

¿Cómo demostrar la desigualdad anterior, ya sea directamente o mostrando en su lugar que la matriz de Cauchy generalizada es semidefinida positiva?

Answer 1

Una forma rápida de ver esto podría ser observar que $$\int_0^\infty \frac{e^{-t} - e^{-at}}{t}\,dt = \log a \,, \forall a > 0.$$

Así que la forma cuadrática anterior se puede escribir como \begin{align*} \sum\limits_{i,j=1}^{n} c_ic_j \log(x_i + x_j) &= \sum\limits_{i,j=1}^{n} c_ic_j \int_0^\infty \frac{e^{-t} - e^{-(x_i+x_j)t}}{t}\,dt \\&= \int_0^\infty \frac{1}{t}\left(e^{-t}\left(\sum_{j=1}^n c_j\right)^2 - \left(\sum_{j=1}^n c_je^{-x_jt}\right)^2\right)\,dt \\&= -\int_0^{\infty} \frac{1}{t} \left(\sum_{j=1}^n c_je^{-x_jt}\right)^2 \,dt \le 0\end{align*} donde, utilizamos el hecho de que $\displaystyle \sum_{j=1}^n c_j = 0$ .