Criterio jacobiano para la suavidad de los esquemas

Question

Un esquema afín $X = Spec(A)$ se dice que es suave si para cualquier incrustación cerrada $X\subset\mathbf A^n$ de ideal $I$ es cierto que, localmente en $x\in X$ El ideal es $I$ puede ser generada por una secuencia $f_{r+1},\dots,f_n$ tal que su jacobiano tenga el máximo rango.

Mi pregunta es:

• El jacobiano de cualquier conjunto de $n-r$ generadores de $I$ sea de máximo rango?

Answer 1

Sí, el rango de la matriz jacobiana no depende del conjunto de generadores de $I$ . La matriz jacobiana en $x$ representa el subespacio generado por las diferenciales en $x$ de todos $f\in I$ .

Obsérvese que el rango de la matriz jacobiana en $x$ se calcula en la fibra donde $x$ vidas, no tiene nada que ver con el esquema base.

Algunas explicaciones más Trabajamos sobre un campo base $k$ . Dejemos que $I$ sea el ideal que define $X$ en $Y:=\mathbb A^n$ . Entonces tenemos una secuencia exacta canónica $$ I/I^2 \to \Omega_{Y}|_X \to \Omega_X \to 0 $$ donde el primer mapa es $\bar{f}\mapsto df\otimes 1$ . Tensores por $k(x)$ obtenemos $$ I/I^2 \to \Omega_{Y}\otimes k(x) \to \Omega_X\otimes k(x) \to 0.$$ Si $g_1,...,g_m$ son un sistema de generadores de $I$ entonces $dg_1,...., dg_m$ generar la imagen de $I/I^2$ en $\Omega_{Y}\otimes k(x)\simeq k(x)^n$ . Llama a esta imagen $C$ . Dejemos que $J_x$ sea la matriz jacobiana asociada a $g_1,...,g_m$ en $x$ en un sistema de coordenadas de $Y$ . Entonces las columnas de $J_x$ corresponden a las imágenes de $dg_1,...,dg_m$ en $C\subseteq \Omega_{Y}\otimes k(x)$ . Por lo tanto, el rango de $J_x$ es sólo la dimensión de $C$ en $k(x)$ y esto es independiente de la elección del sistema de generadores $g_1,...g_m$ .

Por cierto, estas discusiones muestran que $$\dim_{k(x)} (\Omega_{X}\otimes k(x))=n - \mathrm{rank} J_x.$$ Como la suavidad en $x$ equivale a $ \dim_{k(x)} (\Omega_{X}\otimes k(x))= \dim_x X$ vemos que también es equivalente a $\mathrm{rank} J_x=n-\dim_x X$ que es el criterio jacobiano de suavidad.

Answer 2

Creo que hay que tener cuidado si $A$ no es sobre un campo perfecto. Cuando $A$ es sobre un campo perfecto, el ideal jacobiano es el $r$ ideal de ajuste del módulo de diferenciales, por lo que es canónico (e independiente de la elección de los generadores).

Todo esto lo saco de la sección 16.6 del Álgebra Conmutativa de Eisenbud.