La relación de $\zeta$ -función y $p^k$ para $Re(s) \le 1$ ?

Question

La función de von Mangoldt: $$\Lambda(n) = \begin{cases} \log p &; \mbox{if }n=p^k \mbox{ for some prime } p \mbox{ and integer } k \ge 1, \\ 0 &; \mbox{otherwise.} \end{cases}$$ establece una relación entre el Riemann $\zeta$ -función y potencias primarias $p^k$ a través de: $$\log \zeta(s)=-\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}$$ Sin embargo, esto es para $Re(s)>1$ .

¿Hay alguna manera de ampliar la relación anterior a $Re(s) \le 1$ ?

¿O existe en cambio otro formalismo que relacione entre $\zeta$ a $p^k$ con tanta claridad en $Re(s) \le 1$ ?

Answer 1

Puedes diferenciar ambos lados y obtener $\zeta'(s)/\zeta(s)$ = $-\sum_{n=1}^\infty \Lambda (n)/n^s$ . Ahora $\zeta'(s)/(\zeta(s))^2$ es analítico para $Re(s)>1/2$ si se asume la Hipótesis de Riemann. Así que se puede considerar $\zeta'(s)/(\zeta(s))^2$ = $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)/n^s$ donde $f(n)=-\sum_{d|n}\mu(d)\Lambda(n/d)$ .