Encuentra el límite: el límite x tiende a cero [arcsin(x)-arctan(x)]/(x^3)

Question

Tengo dificultades para encontrar el siguiente límite.

$$\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin(x)-\arctan(x)}{x^3}$$

Intenté manipular el límite dado en límite(s) estándar pero no conseguí nada. Probé la regla de L'Hôpital y luego me di cuenta de que sería muy largo y desalentador, así que lo dejé. La respuesta es 1/2.

Gracias por cualquier ayuda de antemano.

Answer 1

Para $|x|<1$ , $\arcsin(x)=x+x^3/6+3x^5/40+\cdots$ , mientras que $\arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5+\cdots$ Así que $(\arcsin(x)-\arctan(x))/x^3=(1/3+1/6)+O(x^2)\to 1/2 $ como $x\to 0$

Answer 2

Vale la pena mencionar que l'Hopital trabaja aquí. Su límite se convierte en $$\lim_{x \rightarrow 0} {{1 \over \sqrt{1 - x^2}} - {1 \over 1 + x^2} \over 3x^2}$$ $$= \lim_{x \rightarrow 0}{(1 + x^2) - \sqrt{1 - x^2} \over 3x^2(1 + x^2)\sqrt{1 - x^2}}$$ Multiplica el numerador y el denominador por $(1 + x^2) + \sqrt{1 - x^2}$ y se obtiene $$= \lim_{x \rightarrow 0}{(1 + x^2)^2 - (1 - x^2) \over 3x^2 ((1 + x^2) + \sqrt{1 - x^2})(1 + x^2)\sqrt{1 - x^2}}$$ $$= \lim_{x \rightarrow 0}{3 + x^2 \over 3((1 + x^2) + \sqrt{1 - x^2})(1 + x^2)\sqrt{1 - x^2}}$$ Ahora sólo tienes que enchufar $x = 0$ en lo anterior y obtener ${1 \over 2}$ .

Answer 3

Sin usar L'Hospital's y la expansión de la serie,

Utilizando este y Prueba de $\arctan(x) = \arcsin(x/\sqrt{1+x^2})$ ,

$$\arcsin x-\arctan x=\arcsin x-\arcsin\frac x{\sqrt{1+x^2}}=\arcsin\left(x\cdot\frac1{\sqrt{1+x^2}}-\sqrt{1-x^2}\cdot\frac x{\sqrt{1+x^2}} \right)$$

$$=\arcsin\left(x\cdot\frac{(1-\sqrt{1-x^2})}{\sqrt{1+x^2}}\right)$$

$$=\arcsin\left(x\cdot\frac{1-(1-x^2)}{\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1-x^2})}\right)=\arcsin\left(\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1-x^2})}\right)$$

$$\implies\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin(x)-\arctan(x)}{x^3}$$

$$=\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1-x^2})}\right)}{\dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1-x^2})}}\cdot\frac1{\lim_{x\to 0}\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1-x^2})}$$

Establecer $\displaystyle\arcsin\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1-x^2})}\right)=\theta\implies\dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1-x^2})}=\sin\theta$ en el primer límite para encontrar el límite que sea $1$

El segundo límite es bastante fácil

Answer 4

Si usas la de L'Hopital, debes usarla varias veces (Y las derivadas son bastante molestas -- la serie de potencias es probablemente el mejor enfoque aquí)

---

Diferenciar la primera vez

$$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{1/\sqrt{1 - x^2} - 1/(x^2 + 1)}{3x^2} \qquad \text{still is 0/0}$$

$$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x/(1 - x^2)^{ 3/2} + 2x / (x^2 + 1)^2}{6x} \qquad \text{still is 0/0}$$

$$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x^2(3/(1 - x^2)^{5/2} - 8/(x^2 + 1)^3) + 1/(1 - x^2)^{3/2} + 2(x^2+1)^2}{6} = \frac{0 + \frac 11 + \frac 21}{6} = \frac{1}{2}$$