¿Cuáles son las posibles dimensiones del núcleo de T?

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Sea T un mapa lineal desde $\Bbb{R}^5$ a $\Bbb{R}^3$ . ¿Cuáles son las posibles dimensiones del núcleo de T? Justifica tu respuesta.

Sé por el Teorema de Nulidad de Rango que $rankT$ y $nullT$ no puede ser mayor que $dimV$ que en este caso es 5, y la suma de los dos debería ser igual a 5, sin embargo no estoy seguro de cómo deducir los posibles valores de $rankT$ lo que supongo que me ayudará a deducir los posibles valores de $nullT$ .

Cualquier sugerencia sería útil, ¡gracias!

Answer 1

He aquí una sugerencia (no es rigurosa, sino para que se intuya):

El núcleo es el conjunto de vectores en el dominio que se mapean a cero en el codominio. La dimensión del núcleo puede considerarse como el número de dimensiones que son "aplastadas" por la transformación. Por "aplastado" me refiero, por ejemplo, a todos los vectores de un $3$ -espacio dimensional que se mapea a un $2$ -plano dimensional. Puedes imaginar un cubo, o algún otro $3$ -objeto dimensional, siendo aplastado hasta quedar plano.

Estamos mapeando desde un $5$ -a un espacio de dimensiones $3$ -espacio dimensional, por lo que ya estamos obligados a aplastar $2$ dimensiones. Por lo tanto, la dimensión del núcleo es al menos $2$ . Si todo de los vectores son asignados a cero por la transformación, entonces todos $5$ las dimensiones del dominio se aplastarán, lo que significa que la dimensión del núcleo es como máximo $5$ . Así que tenemos $2 \leq dim(Null(T)) \leq 5$ .

Si se quiere utilizar el teorema de la nulidad, podemos considerar la imagen de $T$ . En el caso de que todos los vectores estén mapeados a cero, la imagen tiene claramente dimensión cero. También está claro que la dimensión de la imagen puede ser como máximo $3$ lo cual será el caso si los vectores de "salida" ocupan todo el espacio al que estamos mapeando. Así que tenemos $0 \leq dim(Im(T)) \leq 3$ que, por el teorema de rango-nulidad ( $dim(Im(T)) + dim(Null(T)) = 5$ en este caso), implica el resultado anterior.

Answer 2

Por definición, si $V$ y $W$ son espacios vectoriales y $T\colon V\to W$ es una transformación lineal, entonces

$$\text{Null}(T)=\{x\in V\,\colon T(x)=0\}.$$

Por tanto, el espacio nulo de una transformación lineal es un subconjunto de su dominio. En su caso, $\text{Null}(T)\subseteq\mathbb{R}^5$ y por lo tanto $\text{dim}(\text{Null}(T))\leq 5$ . Por otro lado, $\text{Null}(T)$ contiene al menos un punto, que es $0$ y por lo tanto $\text{dim}(\text{Null}(T))\geq 0$ . Por lo tanto, concluimos que tiene $0\leq \text{dim}(\text{Null}(T))\leq 5$ . Utilizando el mismo razonamiento, concluimos la afirmación más general de que $0\leq \text{dim}(\text{Null}(T))\leq \text{dim}(V)$ .

EDITAR : Como se ha señalado en los comentarios anteriores, podemos refinar lo que he dicho anteriormente utilizando el Teorema de Rank-Nullity. Utilizando este resultado, obtenemos que $\text{dim}(\text{Null}(T))= 5-\text{Rank}(T)$ . Dado que los posibles valores de $\text{Rank}(T)$ son $0,1,2,$ y $3$ obtenemos que $2\leq\text{dim}(\text{Null}(T))\leq 5$ .