Cómo resolver: $\,8^x=6x$

Question

Estoy atrapado en el siguiente problema me dio que uno de mis amigos:

Resolver: $\,8^x=6x$.

MIS INTENTOS:

Vemos que $ $$8^x=6x \implies 2^{3x}=6x.$$ Now I am not sure how to proceed further. Taking logarithm on both sides of the equation does not help much. Clearly, $x=\frac 1 3 satisface la ecuación dada, pero no sé cómo conseguirlo.

¿Alguien puede ayudar? Gracias y saludos a todos.

Answer 1

Por simplicidad $3x=u$ por lo que realmente busca en $2^u = 2u$. Uno es exponencial, la otra es lineal y dada la naturaleza de sus derivados, se intersectan a lo más dos veces. En este caso, se cruzan dos veces: en $u=1$ y $u=2$. Estas son las únicas soluciones. Para tu pregunta original que significa $x = 1/3$ o $x=2/3$.

Answer 2

En general, este tipo de problemas no se han cerrado de forma soluciones. Tomando el logaritmo de esta ecuación, se obtiene:

$$ x\log 8 = \log x + \log 6 $$

Generalizar esto a

$$ ax + b\log x + c = 0 $$

Si había una solución algebraica en $a, b, c: x = A(a, b, c)$, luego

$$ \begin{align} aA + b\log A + c &= 0 \\ \log A &= -\frac{a}{b}A -\frac{c}{b} = B(a, b, c)\\ A(a, b, c) &= e^{B(a, b, c)} \end{align} $$

donde tanto $A$ $B$ no son constantes y algebraicas en $a, b, c$. Que es imposible.

Originalmente me dijo que $\log x$ sería algebraicas, y que no está muy bien.

Este problema fue ideado para el efecto. Vamos a mirar atrás, aquí viendo qué pasa si usted sustituye $y=3x$.

$$ \begin{align} 8^x &= 6x \\ 2^{3x} &=2 \cdot 3x\\ 2^y &= 2y \end{align} $$

Ahora, tenemos en cuenta la coincidencia de que $2^2 = 2\cdot2$$2^1 = 2\cdot 1$. Por eso, $y=2$ $y=1$ son soluciones, y por lo $x=\frac23$ $x=\frac13$ son soluciones. Pero para general constantes, no puedes esperar a adivinar una solución. Usted estará en el reino de aproximación numérica.

No la comprensión de cómo resolver este problema no es un signo de una falta de habilidad. El problema es demasiado artificial.

Answer 3

Consejo: ¿Cuántas diversas raíces tengan esta ecuación?