Resolución de ecuaciones simultáneas con la función `min{}`.

Question

Tengo el siguiente sistema de m número de ecuaciones simultáneas con min{} función. Estas ecuaciones también son simétricas.

x1=min{a+b*x2, c};
x2=min{a+b*x3, c};
.
.
.
xm=min{a+b*x1, c};

¿Es necesario que x1=x2=...=xm ¿se debe mantener debido a la naturaleza simétrica de las ecuaciones? ¿Hay algún teorema que demuestre o refute la equivalencia de las variables?

Answer 1

Consideremos un sistema de ecuaciones similar más sencillo

Que b <> 0 (en caso contrario, si b == 0, x1 = x2 = a)

x1 = a + b*x2

x2 = a + b*x1

desde aquí se puede encontrar que

x1 = x2 = a/(1-b), b <> 0

Y esta solución será efectiva para el sistema de ecuaciones:

x1 = a + b*x2

x2 = a + b*x3

...

xn = a + b*x1

y x1 = x2 = x3 = ... = xn = a/(1-b)

Ahora podemos aplicar los resultados a su sistema de ecuaciones, y la solución es:

x1 = x2 =x3 = ... xn =

= a/(1-b) Si b <> 0 y a/(1-b) < c

= c Si b <> 0 y a/(1-b) >= c

= a Si b == 0 y a < c

= c Si b == 0 y a >= c

Espero que sea de ayuda