¿qué curvas algebraicas admiten caracterizaciones geométricas (agradables?)?

Question

Advertencia: esta es una pregunta muy suave.

En un esfuerzo por ayudar a mis estudiantes, en muchos cursos diferentes, a apreciar mejor y poner en práctica la distinción entre geométrico objetos y propiedades que son "intrínsecos" o "independientes de las coordenadas" y algebraico objetos y propiedades que dependen de la definición "extrínseca" por coordenadas, pensé en compilar una galería de ejemplos de curvas algebraicas que se encuentran comúnmente en el plan de estudios de la escuela secundaria (gráficos de polinomios de bajo grado, secciones cónicas, etc. ) - algo parecido a "Cuatro formas de describir curvas en el plano", destacando que un mismo objeto geométrico admite muchas descripciones algebraicas diferentes (a saber: como imagen de una función sólo en los casos más especiales, como imagen de una parametrización más ampliamente, o como un conjunto de niveles aún más ampliamente) que dependen de las coordenadas. Creo que este tipo de cosas deberían ser rutinarias en los cursos de secundaria, entre otras cosas porque mis alumnos de álgebra lineal nunca dejan de luchar con la idea de una transformación lineal como un objeto que existe independientemente de su representación con respecto a las coordenadas en una base específica. Esta dificultad no es culpa suya. Se les ha enseñado a sobrealgebrizarse y a concebir los objetos que estudian como esencialmente en lugar de accidentalmente adjunta a una descripción de coordenadas específica.

Así que pensé en escribir un cuaderno de trabajo que mostrara a los estudiantes cómo tomar varios de los objetos geométricos que encuentran rutinariamente y (a) describirlos algebraicamente de tantas maneras como sea posible en coordenadas cartesianas estándar, (b) describirlos algebraicamente de tantas maneras como sea posible en OTRAS coordenadas (con énfasis en las coordenadas trasladadas simples por su importancia para completar el cuadrado y la transformación de Tschirnhaus para eliminar los términos cuadráticos en los cúbicos, etc.), y (c) describirlos geométricamente independientemente de las coordenadas. Así que puedes imaginar un pequeño y agradable ejercicio aquí, tomando la parábola dada por $f(x)=x^2+2x+1$ En este caso, el objetivo es que los estudiantes se alejen de esta representación demasiado familiar, pasando por una descripción paramétrica y de conjuntos de niveles, hasta llegar a una descripción en coordenadas trasladadas y, finalmente, al santo grial, la descripción geométrica en términos de foco y directriz. Creo que motivar la discusión como un intento de alejarse del álgebra y las coordenadas hacia una caracterización que utilice ideas puramente geométricas ayudaría a los estudiantes a entender por qué tienen que aprender toda esa mierda sobre las directrices de todos modos: al menos podrían aprender a ver qué es lo que lo hace conceptualmente interesante, en lugar de verlo como algo más otro manera de describir un objeto que ya saben describir. Lo que no se enfatiza lo suficiente, por supuesto, es la naturaleza de la descripción. El objetivo sería ayudar a los alumnos a empezar a concebir la gráfica de una función en el plano como una clase de equivalencia de muchas funciones diferentes, es decir, las que se pueden obtener a partir de la función original mediante un cambio de coordenadas. Y puedes ver lo bien que esto ayudaría a los estudiantes a empezar a pensar en términos de acciones de grupos de Lie, etc....

Pero ahora, aquí está la cosa. Nunca he tenido geometría algebraica. Quería llevar algunos polinomios cúbicos a través de esta serie de redescripciones, sobre todo para mostrar a los alumnos que una traslación siempre puede eliminar la cuadrática y, por tanto, para ilustrar que un cambio inteligente de coordenadas puede simplificar mucho un problema. Pero entonces me di cuenta: No conozco una caracterización geométrica de las gráficas de los cúbicos generales. Y entonces me di cuenta de que es aún peor que eso: Ni siquiera sé en general qué curvas algebraicas admiten caracterizaciones geométricas (donde una caracterización geométrica se basaría únicamente en nociones métricas sin dar coordenadas específicas). De hecho, sé que es un problema mal planteado, pero imagino que la idea básica es una idea impulsora de mucho trabajo en geometría algebraica.

Así que mis preguntas son bastante simples y quizás triviales para la gente que conoce la geometría algebraica, así que me disculpo de antemano, pero espero poder suscitar algunas respuestas/comentarios interesantes:

• (1) ¿hay alguna forma agradable de caracterizar geométricamente los gráficos de los cúbicos?
• (2) ¿qué sentido puede tener mi pregunta sobre "qué curvas algebraicas admiten caracterizaciones geométricas"? Mi instinto me dice algo así como que toda curva debería admitir una; sólo que podría ser increíblemente difícil/imposible describirla.

Answer 1

Primera pregunta

(1) ¿hay alguna forma agradable de caracterizar geométricamente los gráficos de los cúbicos?

Por "gráfico de la cúbica" supongo que te refieres a algo como $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ¿correcto? En esta forma el $x$ y $y$ Las direcciones desempeñan papeles diferentes, lo que las convierte en algo bastante dependiente de las coordenadas. La generalización geométrica adecuada sería probablemente

$$ a_{3,0}x^3 + a_{2,0}x^2 + a_{2,1}x^2y + a_{1,0}x + a_{1,1}xy + a_{1,2}xy^2 + a_{0,0} + a_{0,1}y + a_{0,2}y^2 + a_{0,3}y^3 = 0$$

Puede recuperar su versión ajustando todos los coeficientes relacionados con $y$ a cero, excepto para $a_{0,1}$ que se ajustaría a $-1$ . Así que esto es más general.

Puede haber mejores referencias sobre esto, pero el documento de Cayley sobre la construcción del noveno punto de intersección de las cúbicas que pasan por ocho puntos dados comienza describiendo una construcción para un cúbico dados 9 puntos que lo definen. Luego continúa con el caso especial en el que este cúbico sigue sin estar definido de forma única, porque el 9º punto ya está implicado por los otros 8 debido a Teorema de Cayley-Bacharach . Todo esto es bastante independiente del sistema de coordenadas. Puede contener bits y punteros útiles.

Segunda pregunta

(2) ¿qué sentido puede tener mi pregunta sobre "qué curvas algebraicas admiten caracterizaciones geométricas"? Mi instinto me dice algo así como que toda curva debería admitir una; sólo que podría ser increíblemente difícil/imposible describirla.

Fijando un marco de referencia proyectivo, es decir, una línea en el infinito, un origen y un punto a una distancia unitaria del origen en ambas direcciones de las coordenadas, se puede convertir cualquier cálculo algebraico sobre las coordenadas de un punto en una secuencia de construcciones. Esto se debe a que existen construcciones para realizar sumas y multiplicaciones utilizando primitivas de la geometría de incidencia proyectiva. Así, una formulación como "un punto se encuentra en esta curva si la ecuación es cero" puede convertirse en "un punto se encuentra en esta curva si el punto construido a partir de ella coincide con el origen". Si la curva original es independiente del sistema de coordenadas, el marco de referencia puede elegirse de forma arbitraria. En particular, si una clase de curvas es invariante bajo transformaciones proyectivas, entonces el marco de referencia proyectivo puede elegirse de forma completamente arbitraria. Si, por el contrario, tus curvas sólo son invariantes bajo, por ejemplo, transformaciones afines, entonces tienes que fijar el papel de la línea en el infinito, lo que significa añadir cosas como líneas paralelas a tu conjunto de primitivas geométricas. Lo mismo ocurre con las transformaciones de similitud, en las que se necesitan primitivas relacionadas con los ángulos, o incluso con las transformaciones euclidianas, en las que se necesitan medidas de longitud.