Estoy estudiando la famosa integral de $\dfrac{\sin x}{x}$ en el análisis complejo. Mi profesor integró $e^{iz}/z$ sobre un semicírculo con $0$ (el origen), sacado por un pequeño semicírculo.
Nos pidió que pensáramos por qué eligió $e^{iz}/z$ y no $e^{-iz}/z$ .
Supongo que tiene que ver con el hecho de querer que el contorno se recorra en sentido contrario a las agujas del reloj y no en el sentido de las agujas del reloj. ¿Está esto en la línea correcta?
Se elige el signo para que en el semiplano, al trazar el contorno, la función exponencial decaiga en lugar de explotar. Para el semiplano superior:
$$e^{i(x+iy)}=e^{ix}e^{-y}$$
El signo menos garantiza que la integral a lo largo del contorno en $y\to +\infty$ tiende a $0$ .
Si eliges el semiplano inferior, tienes que cambiar el signo.
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