Integral de $\sqrt{4-\sin^2(x)}$

Question

Así que tenemos que encontrar la antiderivada de $\sqrt{4-\sin^2x}$ .
Lo que hice fue poner $\sin x=t;\cos xdx=dt$ .
Pero ahora no soy capaz de calcular la integral de $\sqrt\frac{4-x^2}{1-x^2}$ .
Entonces, ¿cómo iniciar la solución del problema? Por favor, guíenos.
WolframAlpha dice algo elíptico, que aún no conozco. Así que por favor ayuda.

Answer 1

Si se considera la elipse de la ecuación $$ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1 $$ y tratar de calcular la longitud de un arco de la misma partiendo de $(\sqrt{3},0)$ en sentido contrario a las agujas del reloj, se puede utilizar la parametrización $$ x=\sqrt{3}\cos t,\qquad y=2\sin t $$ que da una integral de la forma $$ \int_0^{t_0}\sqrt{3\sin^2t+4\cos^2t}\,dt= \int_0^{t_0}\sqrt{4-\sin^2t}\,dt $$ donde $t_0$ representa el parámetro correspondiente al punto terminal del arco.

Estas integrales no son computables en términos de funciones elementales y se conocen como integrales elípticas .