¿Cómo puedo demostrar que todos los números mayores que 3 pueden escribirse como una suma de $2$ y $3$ ¿Sólo?
Respuesta
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Dejemos que $n$ sea un número, $n>3$ . Sólo hay dos posibilidades, o bien $n$ es par o impar. Si $n$ es par, entonces $\exists\;k$ , s.t. $2k=n$ . Entonces está claro que, $n$ puede escribirse como la suma de $k$ dos. Por otro lado, si $n$ es impar, entonces $\exists\;l$ , s.t. $2l+1=n\Rightarrow 2(l-1)+3=n$ . Entonces está claro que, $n$ puede escribirse como la suma de $l-1$ dos, y uno $3$ .
Tenga en cuenta que los números $1$ y $3$ no puede escribirse como la suma de $2$ y $3$ . Por ello, la condición mayor que $3$ es necesario.
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Pista: ¿puede haber un número más pequeño que no pueda escribirse como suma de 2 y 3?
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¿Te das cuenta de que una vez que tienes dos números consecutivos que se pueden escribir de esta forma, todos los demás también pueden?
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Cada vez mayor que $3$ se puede escribir $2+2+\dots+2$ . Cada impar mayor que $3$ se puede escribir $3+2+2+\dots+2$ . Éstas pueden formularse como pruebas de inducción directas.
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Por supuesto... de hecho hay muchos diferentes formas en que un número concreto puede escribirse como suma de $2$ o $3$ pero eso no nos importa. Como un reto divertido, sin embargo, usted podría tratar de revisar este problema más tarde, una vez que haya aprendido acerca de las relaciones de recurrencia para ver si se puede llegar a una expresión para el número de maneras un número $n$ puede escribirse como una suma de $2$ o $3$ 's oeis.org/A182097