¿Estas integrales se evalúan en términos que implican deltas de Kronecker?

Question

Existe una famosa representación integral del delta de Kronecker: $$ \delta_{N,M} = \int_0^1 dx\ e^{-2 \pi i (N-M)x} $$

Observando esto, me he encontrado con dos integrales en las que $N,M,m \in \mathbb{Z}$ . Primero: $$ \mathcal{I}_{1} = \int_{m-\tfrac{1}{2}}^{m+\tfrac{1}{2}} dx\ x \ e^{-2 \pi i (N-M)x} $$ Tengo una referencia que parece implicar que $\mathcal{I}_1 = m \delta_{M,N}$ .

La segunda integral es peor (para cualquier $y > 0$ ): $$ \mathcal{I}_{2} = \int_{m-\tfrac{1}{2}}^{m+\tfrac{1}{2}} dx\ \sqrt{ x^2 + y^2 } \ e^{-2 \pi i (N-M)x} $$ No tengo ni idea de cómo evaluar ninguno de los dos. ¿Acaso ambos implican una $\delta_{N,M}$ ?

Answer 1

En primer lugar, observe que su representación del delta de Kronecker sigue siendo correcta si desplazamos los límites de integración: $$ \delta_{N,M} = \int \limits_{m-\frac{1}{2}}^{m+\frac{1}{2}} \mathrm{d} x \, \mathrm{e}^{- 2 \pi \mathrm{i} (N-M) x} \, .$$

Para la primera integral obtenemos $$ \mathcal{I}_1 = \int \limits_{m-\frac{1}{2}}^{m+\frac{1}{2}} \mathrm{d} x \, x = m $$ si $N=M$ . Si $N \neq M$ podemos integrar por partes para obtener \begin{align} \mathcal{I}_1 &= \left[- \frac{x \mathrm{e}^{- 2 \pi \mathrm{i} (N-M) x}}{2 \pi \mathrm{i} (N-M)}\right]_{x=m-\frac{1}{2}}^{x=m+\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (N-M)}\int \limits_{m-\frac{1}{2}}^{m+\frac{1}{2}} \mathrm{d} x \, \mathrm{e}^{- 2 \pi \mathrm{i} (N-M) x} \\ &= \frac{\mathrm{i} (-1)^{N-M}}{2 \pi (N-M)} \, , \end{align} ya que la segunda integral desaparece por nuestra observación inicial. Por lo tanto, no conduce a un delta de Kronecker. Vemos que $\operatorname{Re} (\mathcal{I}_1) = m \delta_{N,M}$ Sin embargo, se mantiene.

La segunda integral es mucho más complicada, pero los cálculos numéricos sugieren que ni la parte real ni la imaginaria desaparecen en general, por lo que parece poco probable que tenga alguna relación con la delta de Kronecker.