Verificar si una función está en un $L^p$ espacio

Question

Definir $f(x)=\frac{1}{\ln x}$ para $x\ge 1$ . Demuestre que para $p$ en $[1, \infty)$ , $f$ no está en $L^p$

Answer 1

Observe que, $$\int_1^\infty\frac{1}{(\log x)^p}dx= \int_0^\infty\frac{e^t}{t^p}dt $$ Ahora usa la pista.

Answer 2

Para todos $p\ge 1$ existe $k(p)\ge 1$ s.t. $$x\ge k(p)\implies (\log x)^p \le x.$$ Ahora, puedes comparar tu integral con una integral divergente: $$\int_{k(p)}^\infty\frac1x\,dx\le\int_{k(p)}^\infty\frac1{(\log x)^p}\,dx\le\int_1^\infty\frac1{(\log x)^p}\,dx.$$