Teorema de Fermat y divisores primos

Question

Dejemos que $a,b\in\Bbb N$ y $a+b$ sea un número par.

Supongamos que $a^2 - b^2 - a$ es un cuadrado exacto, digamos $c^2$ .

Dejemos que $m = \frac {a+b}2$ y $n = \frac {a-b}2$ .

Entonces,

$$(4m-1)(4n-1) = 4(4mn-m-n) + 1 = 4(a^2-b^2-a)+1=(2c)^2+1^2 $$

Mi 2 las preguntas son:

1. ¿Por qué $(2c)^2+1$ tienen un divisor primo de la forma $4k-1$ ?
2. ¿Por qué se deduce del Pequeño Teorema de Fermat que $4k-1$ divide $2c$ y $1$ ( por lo tanto, la contradicción )?

Answer 1

La parte (1) puede realizarse mediante un argumento de tipo descendente.

Si un número $N$ tiene un factor $4k-1$ entonces o es primo y hemos terminado o se factoriza en dos factores $p$ y $q$ con $1 \lt (p, q)\lt N$ .

Considere la multiplicación módulo 4 para llegar a $4k-1$ que es $3 \mbox{ mod } 4$ necesitamos uno de $p, q$ es $3 \mbox{ mod } 4$ y el otro es $1 \mbox{ mod } 4$ .

Toma de WLOG $p = 3 \mbox{ mod } 4 = 4j-1$ y volvemos al punto de partida, pero con un número entero menor. Este proceso debe terminar ya que el menor número entero positivo de esta forma es $3$ sí mismo.

Así, $2c^2+1$ tiene un divisor primo de la forma $4k-1$ .