¿Es el colector E8 homeomorfa a un complejo de CW?

Question

Es el E8 colector de homeomórficos a un CW complejo? (Sé que no es triangulable)

Edit: El E8 colector es el único compacto (sin límite), simplemente se conecta topológico 4-colector, cuya 2ª entero de homología (equipada con su intersección) es isomorfo a la $E_8$ celosía. Una descripción detallada de este colector se puede encontrar en una respuesta a este MSE pregunta.

Parece ser un problema abierto para determinar si todos los $n$-dimensiones topológicas colector admite estructura de un CW complejo. La respuesta positiva (debido al trabajo duro de muchas personas, lo que es más importante - Kirby y Siebenmann para $n\ge 6$, Freedman y Quinn por $n=5$) es conocido en todas las dimensiones a excepción de $n=4$. Además, todos conectados noncompact 4 dimensiones de los colectores son conocidos por ser triangulable (esto es debido a Quinn) y, por lo tanto, la respuesta es positiva en este caso.

Dado que el E8-colector es, en cierto sentido, el más simple nonsmoothable de 4 dimensiones del colector, tiene sentido preguntar si es homeomórficos a un CW complejo.

Answer 1

Creo que podemos tratar de manera segura Andrew Ranicky como un experto en estas cuestiones. En un comentario a su respuesta aquí Ranicky preguntó lo siguiente:

Pregunta. Es cierto que una de las 4 dimensiones del colector $X$ admite un CW-complejo de la estructura de la si y sólo si $X$ es smoothable?

Desde el E8-colector no está smoothable, tu pregunta es un caso especial de un proceso abierto (y, supongo, importante) problema en 4 dimensiones de la topología.