Ecuación diferencial de 2º orden con coeficientes no constantes

Question

Consideremos la ecuación diferencial de segundo orden $$y''-x^2y=0 $$ donde $y$ es una función de $x$ . No sé cómo resolver esta ecuación. Intenté una expansión en serie y fallé, y como los coeficientes no son constantes, tampoco puedo usar la ecuación característica para resolverla. Por lo tanto, aquí estoy, buscando cualquier pista sobre cómo resolver esta ecuación para $y$ .

Sé que ya hay toneladas de preguntas sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden como ésta, y he mirado casi todas ellas, sin embargo, todas las soluciones proporcionadas parecen ser muy situadas para la ED dada, y todavía tengo que encontrar un método general que pueda utilizar para resolver lo anterior. He pensado en reducir el orden de la ecuación.

Gracias.

Answer 1

Se trata de un caso particular de la ecuación diferencial de Weber $$y''+\left( \nu+\frac 12-\frac {x^2}4\right)y=0$$ Echa un vistazo aquí .

La solución para su caso concreto viene dada por $$y=c_1 D_{-\frac{1}{2}}\left(\sqrt{2} x\right)+c_2 D_{-\frac{1}{2}}\left(i \sqrt{2} x\right)$$ donde aparece la función cilíndrica parabólica.

Answer 2

Para una solución en serie de potencias, sea $$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\quad y'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}, \quad y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2}$$

y luego sustituyendo en $y''-x^2y=0$ formularios

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2}-x^2\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0$$ o $$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2}-\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+2}=0$$ por lo que para los coeficientes encontramos $$x^0:\quad 2(1) a_2=0 \implies a_2=0$$ $$x^1:\quad 3(2) a_3=0 \implies a_3=0$$ $$x^2:\quad 4(3) a_4-a_0=0 \implies a_4=\frac{a_0}{12}$$ $$x^3:\quad 5(4) a_5-a_1=0 \implies a_5=\frac{a_1}{20}$$ $$x^4:\quad 6(5) a_6-a_2=0 \implies a_6=\frac{a_2}{30}=0$$ por lo que nuestra recurrencia para $x^n$ viene dada por $$(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_{n-2}=0 \implies a_{n+2}=\frac{a_{n-2}}{(n+2)(n+1)},\quad n\ge 2$$ donde \begin{align}y&=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x_5+a_6x^6+\dots\\&= a_0+a_1x+0x^2+0x^3+\frac{a_0}{12}x^4+\frac{a_1}{20}x^5+0x^6+\dots\\&= a_0\left(1+\frac{x^4}{12}+\dots\right)+a_1\left(1+\frac{x^5}{20}+\dots\right) \end{align}

A continuación, se podrían añadir más términos para simplificar la representación de $a_0$ y $a_1$ .

Answer 3

Nótese que esto pertenece a una EDO de la forma http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0205.pdf .

Dejemos que $y=e^{-\frac{x^2}{2}}u$ ,

Entonces $y'=e^{-\frac{x^2}{2}}u'-xe^{-\frac{x^2}{2}}u$

$y''=e^{-\frac{x^2}{2}}u''-xe^{-\frac{x^2}{2}}u'-xe^{-\frac{x^2}{2}}u'+(x^2-1)e^{-\frac{x^2}{2}}u=e^{-\frac{x^2}{2}}u''-2xe^{-\frac{x^2}{2}}u'+(x^2-1)e^{-\frac{x^2}{2}}u$

$\therefore e^{-\frac{x^2}{2}}u''-2xe^{-\frac{x^2}{2}}u'+(x^2-1)e^{-\frac{x^2}{2}}u-x^2e^{-\frac{x^2}{2}}u=0$

$e^{-\frac{x^2}{2}}u''-2xe^{-\frac{x^2}{2}}u'-e^{-\frac{x^2}{2}}u=0$

$u''-2xu'-u=0$

Puede aplicar el procedimiento en Ayuda para resolver una ecuación diferencial aparentemente sencilla para conseguir $u=c_1\int_0^\infty\dfrac{e^{-\frac{t^2}{4}+xt}}{\sqrt{t}}dt+c_2\int_0^\infty\dfrac{e^{-\frac{t^2}{4}-xt}}{\sqrt{t}}dt$

$\therefore y=c_1e^{-\frac{x^2}{2}}\int_0^\infty\dfrac{e^{-\frac{t^2}{4}+xt}}{\sqrt{t}}dt+c_2e^{-\frac{x^2}{2}}\int_0^\infty\dfrac{e^{-\frac{t^2}{4}-xt}}{\sqrt{t}}dt$

$y=c_1\int_0^\infty\dfrac{e^{-\frac{t^2}{4}+xt-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{t}}dt+c_2\int_0^\infty\dfrac{e^{-\frac{t^2}{4}-xt-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{t}}dt$

$y=C_1\int_0^\infty e^{-\frac{t^2}{4}+xt-\frac{x^2}{2}}~d(\sqrt{t})+C_2\int_0^\infty e^{-\frac{t^2}{4}-xt-\frac{x^2}{2}}~d(\sqrt{t})$

$y=C_1\int_0^\infty e^{-\frac{t^4}{4}+xt^2-\frac{x^2}{2}}~dt+C_2\int_0^\infty e^{-\frac{t^4}{4}-xt^2-\frac{x^2}{2}}~dt$