Demuestre que la derivada menor que 1 implica contracción.

Question

Me dicen que f tiene una derivada continua y que $a \leq f(x) \leq b$ y $|f'(x)| < 1 \ \forall x \in [a,b]$ y tengo que demostrar que $f$ es una contracción.

Ahora bien, si tomo cualquier $x,y \in [a,b]$ el teorema del valor medio dice que $\exists c \in (a,b)$ tal que $$|f(x) - f(y)| = |f'(c)| |x-y|$$ y por lo tanto claramente esto es una contracción.

Sin embargo no he utilizado la condición de que $f$ tiene una derivada continua o que $f$ está limitada por $a$ y $b$ ¿Por qué son necesarias estas condiciones?

Mi definición de contractivo es que $|g(x) g(y)| \leq a|x y|$ por algún valor real $0 \leq a < 1$ y para todos $x$ , $y \in [a,b]$ .

Gracias

Answer 1

Sólo has demostrado que $|f(x)-f(y)| < |x-y|$ .

Pero la definición de contracción es que existe una $C <1$ para que

$$|f(x)-f(y)| < C|x-y| \,.$$

Una pista: Si $f'$ es continua en $[a,b]$ entonces también lo es $|f'|$ y por lo tanto $|f'|$ alcanza su máximo en algún momento $x_0 \in [a,b]$ .

Además, una contracción por definición es una función $f$ de algún espacio métrico a sí mismo . Su dominio es $[a,b]$ por lo que su codominio también tiene que ser $[a,b]$ Por eso necesitas la otra condición.